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Wie berechne ich eine stetige Fortsetzung?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Stetigkeit

Tags: gebrochen-rational, scharfunktion, Stetige Fortsetzung

anonymous

21:21 Uhr, 17.10.2009

Hallo zusammen,

ich bin in der

13

. Klasse und wir schreiben nächste Woche eine Klausur in Mathe. Zur Übung haben wir folgende Aufgabe bekommen, an der ich leider schon am Anfang scheitere.

Funtionenschar:

f c (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 x - 2 + c^{2}}{2 x - 1}

Aufgabe: Für welche

c E R

ist

f c (x)

stetig fortsetzbar? Zeigen Sie, dass die stetige Fortsetzung Asymptote aller anderen Scharkurven ist.

Mit der Stetigkeit hatte ich es ja noch nie so :-) Deshalb komme ich damit nicht klar und wäre für eine Hilfe sehr sehr dankbar!

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

bruchspezialistin aktiv_icon

21:41 Uhr, 17.10.2009

Der Zähler sieht mit

- 4 x^{2} + 4 x - 2 + c^{2}

schon fast aus wie das Binom von

(2 x - 1) :

{(2 x - 1)}^{2} = 4 x^{2} - 4 x + 1

Für

c^{2} = 1

erhalten wir für den Zähler:

- 4 x^{2} + 4 x - 2 + 1 = - 4 x^{2} + 4 x - 1 = - (4 x^{2} - 4 x + 1)

Dann ist

f (x) = - \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1} = - (2 x - 1) = - 2 x + 1

und die Funktion kann an der Stelle

x = \frac{1}{2}

stetig fortgesetzt werden.

anonymous

17:27 Uhr, 18.10.2009

Vielen Dank für diesen Lösungsweg!

Ich habe nur noch eine Frage dazu: Wie komme ich in anderen Fällen auf das c? Muss ich einfach immer eine Annahme stellen und dann gleichsetzen? Gibt es da vlt. eine Art Rezept?
Vielen Dank!

bruchspezialistin aktiv_icon

17:36 Uhr, 18.10.2009

Es gibt keinen Standardweg, aber meistens hilft es wir hier, das Binom des Nenners zu berechnen und mit dem Zähler zu vergleichen. Häufig muss man wie hier auch noch ein Vorzeichen ausklammern.

Der Zähler kann

z . B

. auch so etwas sein wie:

x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24

Wenn Du jetzt

z . B

. im Nenner

(x - 2)

stehen hättest, solltest Du es mit Polynomdivision probieren.

Übrigens:

x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24 = (x - 2) \cdot (x - 3) \cdot (x - 4) . .

. das sieht man (oder zumindest ich) dem Term nicht an.

anonymous

17:45 Uhr, 18.10.2009

Mensch, Du bist ja fix - :-)

Vielen Dank - ich probier das gleich mal mit einer anderen Funktion aus.

LG

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