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Wie bestimme ich aus Potenzreihe die Funktion?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Potenzreihe

Felix00 aktiv_icon

10:19 Uhr, 04.01.2020

Guten Morgen,
Bei der Potenzreihe

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

ist mir klar, dass es sich um die geometrische reihe handelt, wenn

x < 1

ist.

Wie verhält es sich nun mit

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} \cdot {(- 1)}^{n}

?

Gibt es dafür einen allgemeinen Ansatz?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

10:26 Uhr, 04.01.2020

>

ist mir klar, dass es sich um die geometrische reihe handelt, wenn

x < 1

ist.
Nein, es handelt sich für jeden Wert von

x

um eine GR aber nur für

| x | < 1

ist diese auch konvergent und man kann die bekannte Formel für die Summe anwenden.

Für die zweite Reihe verwende

x^{n} \cdot {(- 1)}^{n} = {(- x)}^{n}

und du bist wieder bei einer GR.

Felix00 aktiv_icon

10:57 Uhr, 05.01.2020

Pefekt. Da hab ich wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen, dass man das so simpel umfromen darf.

Ich soll jetzt die durch die Potenzreihen dargestellten Funktionen ermitteln...

bei

x^{n}

sollte es sich ja um

f (x) = \frac{1}{x + 1}

handeln,
ist das korrekt?

und bei

{(- x)}^{n}

dann um

f (x) = - 1^{x + 1} \cdot (\frac{1}{x + 1})

Mache ich das so richtig?

michaL aktiv_icon

11:38 Uhr, 05.01.2020

Hallo,

> Da hab ich wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen, dass man das so simpel umfromen darf.

Potenzgesetze kommen so in der 9./10. Klasse dran. Da haben die meisten mit Mathe längst abgeschlossen.

> bei

x^{n}

sollte es sich ja um

f (x) = \frac{1}{x + 1}

handeln,
> ist das korrekt?

Wo hast du denn diesen Unfug her?

> und bei

(- x)^{n}

dann um

f (x) = - 1^{x + 1} \cdot (\frac{1}{x + 1})

Oh, weia.

Schau mal bei mathepedia.de/Potenzreihen.html nach, um den Unfug zu korrigieren, und bei de.wikipedia.org/wiki/Substitution_(Mathematik), um danach auf die korrekte Formel zu kommen.
Übrigens hilft in diesen Fällen (Standard) auch ein Tafelwerk wie der Bronstein.

Außerdem sollte man sich stets überlegen, welche Regeln man anwendet, um eine Umformung zu machen. "Gefühlte" Regeln sind allzumeist falsch.

Mfg Michael

Roman-22

12:24 Uhr, 05.01.2020

>

Nein, es handelt sich für jeden Wert von

x

um eine GR aber nur für

| x | < 1

ist diese auch konvergent und man kann die bekannte Formel für die Summe anwenden.

OK, ich muss nun also das "bekannte" zurücknehmen

: - (

@Felix00: mache dich bitte mit der Formel für die Summe eine konvergenten geometrischen Reihe bekannt! Aller Wahrscheinlichkeit nach wird in deinen Unterlagen da ein "q" vorkommen. Ersetze dieses dann bitte einmal durch "x" für die erste und dann durch "(-x)" für die zweite Reihe.
Du wirst erkennen, dass dein

\frac{1}{x + 1}

(allerdings eher durch Zufall) nicht so falsch war, aber eben falsch zugeordnet ;-)

Felix00 aktiv_icon

17:20 Uhr, 05.01.2020

Die Formel mit der man auf den Grenzwert der geometrischen Reihe kommt kenne ich:

\frac{1}{1 - q}

Nur soll ich ja eine Funktion Darstellen.
In meinen Augen also

f (x) =

Something
Und

\frac{1}{1 - q}

ist ja nur die Formel die einen Grenzwert "ausgibt"

Ganz genau lautet die Aufgabe:
"Bestimmen sie die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion"

Durch das einsetzen von