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Wie bestimme ich die Dimension des Eigenraums?

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Eigenraum, Eigenvektor, Eigenwert, Matrizenrechnung

HerrElch aktiv_icon

19:58 Uhr, 04.06.2020

Hallo zusammen,
ich muss eine Aufgabe für die Uni lösen und bin mir etwas unsicher, wie ich weiter machen soll.

Ich soll laut Aufgabe "die Dimension des Eigenraums" einer 5x5 Matrix bestimmen.
Ich habe nun gerade für den ersten der Eigenwerte der Matrix den Eigenvektor bestimmt. Eigentlich ist es aber eine Menge von Vektoren und diese sind abhängig von 3 Variablen

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

. Genauer gesagt hat mein Eigenvektor die Form:

(\begin{array}{rcl} - 3 / 5 * λ_{1} + 8 / 5 * λ_{2} + 1 / 5 * λ_{3} \\ λ_{1} \\ - λ_{2} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{array})

Ich weiß nun nicht, wie ich wirklich fortfahren soll. Wie bestimme ich denn den Eigenraum, wenn es eigentlich unendlich viele Eigenvektoren gibt?
Oder reicht es für die Dimension des Eigenraums schon aus, wenn ich einfach die Dimension dieser Menge von Vektoren (also Dimension = 3) angebe?

Ich bin leider etwas irritiert, weil wir bisher nur den Fall hatten, dass es genau einen Eigenvektor zu dem Eigenwert gibt. Oder habe ich irgendwo was falsch gemacht?

Danke für eure Hilfe und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DrBoogie aktiv_icon

21:15 Uhr, 04.06.2020

"Ich bin leider etwas irritiert, weil wir bisher nur den Fall hatten, dass es genau einen Eigenvektor zu dem Eigenwert gibt."

Diesen Fall gibt es nie. Denn wenn

v

ein Eigenvektor ist, dann ist auch z.B.

2 v

ein Eigenvektor.
Eigenvektoren bilden immer Eigenräume.
Zu deiner Frage: Dimension des Eigenraums ist die Anzahl der Basisvektoren in ihm. Wenn deine Eigenvektoren von drei Parametern abhängen, dann hast du wahrscheinlich Basen aus drei Vektoren. Durch relativ beliebe Festlegung von den Parametern kannst du drei Basisvektoren bekommen. Z.B. durch

λ_{1} = 0, λ_{1} = λ_{3} = 0

bekommst du den ersten Vektor, durch

λ_{2} = 1, λ_{1} = λ_{3} = 0

den zweiten usw.

HerrElch aktiv_icon

11:53 Uhr, 05.06.2020

Hallo und schonmal Danke für deine Antwort.

Ist es nicht ein bisschen fatal einfach 3 Vektoren anzunehmen, für zufällige Lambda?
Da sind doch dann bei weitem nicht alle Möglichkeiten abgedeckt, die denkbar wären, oder irre ich mich da? Es gibt ja unendlich viele Verhältnisse von λ1 zu λ2 zu λ3.
Und wenn ich z.B.

λ 1 = 0, λ 2 = 0, λ 3 = 0

setze, dann schließe ich doch eine ganze Menge möglicher anderer Vektoren aus. Egal, ob ich 1 oder 3 oder noch viel mehr Kombinationen von Lambda wähle, oder nicht?

Ich hatte mich noch gefragt, was passiert, wenn ich einfach das hier angebe:

(\begin{array}{rcl} - 3 / 5 * λ 1 + 8 / 5 * λ 2 + 1 / 5 * λ 3 \\ λ 1 \\ - λ 2 \\ λ 2 \\ λ 3 \end{array})

λ_{1} * (\begin{array}{rcl} - 3 / 5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + λ_{2} * (\begin{array}{rcl} 8 / 5 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + λ_{3} * (\begin{array}{rcl} 1 / 5 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Dann hätte ich doch 3 Vektoren aus dem Eigenvektor erzeugt. Und können dann jeden möglichen Eigenvektor (also in der Gesamtheit den Eigeneraum) darstellen, oder irre ich mich da?

Danke und LG

HAL9000

13:35 Uhr, 05.06.2020

Ein paar Anmerkungen:

1) Die bloße Matrix hat keinen Eigenraum, sondern nur die Matrix bezogen auf einen speziellen Eigenwert.

2) Linearkombinationen von Eigenvektoren sind i.a. nur dann wieder Eigenvektoren, wenn die Ausgangsvektoren alle zum selben Eigenwert gehören.

3) Es gibt keine Vorschriften zur Symbolwahl, aber: Es ist Usus, die Eigenwerte mit

λ

bzw. mit Index

λ_{k}

zu bezeichnen. Bei dir hingegen sind die

λ_{k}

beliebige Koeffizienten in deiner Linearkombination der Eigenvektoren. Das ist, nun ja, zumindest gewöhnungsbedürftig. ;-)

Vielleicht klärt sich manches Missverständnis auf, wenn du deine konkrete 5x5-Matrix nennst.

DrBoogie aktiv_icon

14:12 Uhr, 05.06.2020

"Ich hatte mich noch gefragt, was passiert, wenn ich einfach das hier angebe:

Dann hätte ich doch 3 Vektoren aus dem Eigenvektor erzeugt."

Damit hast du zumindest drei Vektoren gefunden, die eine Basis des von dir angegebenen Untervektorraumes bilden. Wenn dieser Untervektorraum tatsächlich der Eigenraum ist, dann bist du fertig.

HerrElch aktiv_icon

14:24 Uhr, 05.06.2020

Hallo und Danke für deine Hinweise. Hier mal alles, was ich mir bereits so ausgearbeitet habe.

Folgende Matrix habe ich gegeben:

A := (\begin{array}{rcl} 17 & 9 & 26 & 2 & - 3 \\ - 5 & - 1 & - 8 & 0 & 1 \\ - 5 & - 3 & - 7 & - 1 & 1 \\ 5 & 3 & 10 & 4 & - 1 \\ 15 & 9 & 26 & 21 & - 1 \end{array})

Der Eigenwert mit dem ich arbeite ist 2 (aus gegebenem char. Polynom :

(X - 3)^{2} (X - 2)^{3}

).

Folgende Matrix habe ich aus (

A - 2 * I_{5}

) nach dem Gaußverfahren ermittelt:

A := (\begin{array}{rcl} 15 & 9 & 26 & 2 & - 3 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

Das ganze habe ich nun für das Ergebnis

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

gelöst
und habe den oben genannten Vektor als Ergebnis berechnet (Lambda war dabei wahrscheinlich wirklich eine ungünstige Wahl).

Nun war ich mir aber unsicher, wie ich nun weiter machen soll, um die Dimension des Eigenraums zu bestimmen.

Liebe Grüße

HerrElch aktiv_icon

14:27 Uhr, 05.06.2020

Oh, die neue Matrix muss natürlich nicht

A

sondern

A ʹ

heißen.

DrBoogie aktiv_icon

14:28 Uhr, 05.06.2020

Eine Basis des Kerns der letzten Matrix kann man auch direkt von der Matrix ablesen:

(- 9, 15, 0, 0, 0)

(0, 0, 1, - 1, 0)

(0, 0, 0, 0, 1)

HAL9000

14:59 Uhr, 05.06.2020

Zu dumm, dass die Vereinfachung nicht stimmt, passt jedenfalls nicht zur angegebenen Basis

A

: Beispielsweise ergibt

A \cdot (0, 0, 1, - 1, 0)^{T} = (24, - 8, - 6, 6, 5)^{T} \neq 2 \cdot (0, 0, 1, - 1, 0)^{T}

Nach meiner Rechnung besitzt Eigenwert 2 hier nur die geometrische Vielfachheit 2, eine mögliche Eigenraumbasis ist

(1, 0, 0, 0, 5)^{T}

sowie

(0, 1, 0, 0, 3)^{T}

HerrElch aktiv_icon

14:59 Uhr, 05.06.2020

Hm, dass ist ja seltsam. Ich sehe mir das ganze nochmal in Ruhe an. Danke für eure Hilfe :-)

DrBoogie aktiv_icon

15:06 Uhr, 05.06.2020

Du kannst übrigens bei solchen technischen Aufgaben deine Ergebnisse immer mit einem Online-Rechner prüfen. Oder auch berechnen lassen, ich halte persönlich bloße Rechnerei für wenig lehrreich.
Z.B. hier: arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm

HAL9000

15:07 Uhr, 05.06.2020

Ok, ins CAS eingehackt ergibt sich eine andere Eigenwertstruktur, also hast du dich vermutlich bei der Matrix vertippt - ich hasse diese Schlamperei!

Meine Vermutung: Die 21 in der letzten Matrixzeile soll eine 2 sein.

HerrElch aktiv_icon

11:08 Uhr, 06.06.2020

Oh ja, das tut mir wirklich sehr leid, da habe ich mich vertippt und ausversehen eine 1 zu viel eingegeben. Entschuldige bitte.

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