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Wie bestimme ich eine Transformationsmatrix

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Linear Abbildung, Matrizenrechnung

hanna91 aktiv_icon

14:34 Uhr, 11.12.2014

Hallo,

ich stehe seit ein paar Tagen auf dem Schlauch. Mein Problem:

Ich habe 3 Punkte in 2 Koordinaten-Systemen gegeben, einmal im

ℝ^{2}

und einmal im

ℝ^{3},

also

z . B . :

Im dem einen Koordinatensystem:

v 1 = (\begin{matrix} 313 \\ 169 \end{matrix})

v 2 = (\begin{matrix} 344 \\ 124 \end{matrix})

v 3 = (\begin{matrix} 356 \\ 212 \end{matrix})

Diese Punkte entsprechen den Punkten im anderen Koordinatensystem

(v 1 \to w 1, v 2 \to w 2, v 3 \to w 3)

w 1 = (\begin{matrix} 82.1 \\ 26.2 \\ - 13.8 \end{matrix})

w 2 = (\begin{matrix} 85.2 \\ 20.3 \\ - 19.1 \end{matrix})

w 3 = (\begin{matrix} 86.9 \\ 18.3 \\ - 24.2 \end{matrix})

Wie kann ich hieraus meine Transformationsmatrix

T

bestimmen, also so, dass

w 1 = T \cdot v 1

Meine ursprünglich Idee war,

w 1, w 2

und

w 3

und

v 1, v 2

und

v 3

jeweils in die Spalten von Matrizen

W

und

V

zu schreiben, also

W = (w 1, w 2, w 3) = (\begin{matrix} 82.1 & 85.2 & 86.9 \\ 26.2 & 20.3 & 18.3 \\ - 13.8 & - 19.1 & - 24.2 \end{matrix})

und

V = (v 1, v 2, v 3) = (\begin{matrix} 313 & 344 & 356 \\ 169 & 124 & 212 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

so dass

W = T \cdot V

und wenn man

V

auf die andere Seite schreibt, man auf

T

kommt:

T = W \cdot V^{- 1}

. Wenn ich dann aber andere Punkte aus dem RR^2-Koordinatensystem einsetze, kommen leider völlig unrealistische Ergebnisse dabei zustande. Wieso ist das so und hat jemand eine andere Idee, wie man das Problem lösen könnte?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

14:58 Uhr, 11.12.2014

Hallo,

Du musst Dir zunächst klar machen, dass Dein Problem (so allgemein) keine Lösung hat. Eine lineare

(!)

Abbildung von

ℝ^{2}

nach

ℝ^{3}

ist schon durch die Bilder von 2 linear unabhängigen Vektoren aus dem

ℝ^{2}

festgelegt. Du kannst nicht 3 Vektoren mit 3 Bildern unabhängig voneinander vorgeben.

Gruß pwm

ledum aktiv_icon

14:59 Uhr, 11.12.2014

deine Abbildung ist nicht linear:
da

v 1, v 2, v 3

linear abhängig sind gilt v*3=av_1+b
dann müsste auch wr=aw1+bw2 sein, das ist nicht der Fall. eine Matrix vermittelt eine lineare Abbildung und dabei muß gelten : A*((av1+bv2)=A*av1+A*bv2=aw1+aw2
Wie kommst du denn auf deine Bildvektoren?
Gruß ledum

hanna91 aktiv_icon

15:09 Uhr, 11.12.2014

Es geht um meine Bachelorarbeit, in der ich eine Ultraschallkamera kalibrieren muss.

Dazu habe ich ein Phantom gebaut, in dem Fäden gespannt sind.
Die Punkte stellen die Schnittpunkte der Fäden im Phantom mit der Bildebene der Ultraschallkamera dar.

Das 3-Dimensionale Koordinatensytem ist dabei das Koordinatensystem des Phantoms und das zweidimensionale ist das Koordinatensystem des Ultraschallbildes.

hanna91 aktiv_icon

15:10 Uhr, 11.12.2014

Wie würde es denn aussehen, wenn man den dritten Punkt einfach rausstreichen würde?

Dann würde ich mit meinem Lösungsansatz allerdings laut MATLAB eine 3x3-Matrix rausbekommen, in der ich in der dritten Spalte nur nullen stehen habe. Das erscheint mir so auch nicht ganz richtig.

pwmeyer aktiv_icon

19:15 Uhr, 11.12.2014

Hallo,

wenn Du also

V = (v_{1} | v_{2})

als Matrix nimmst und

W = (w_{1} | w_{2}),

dann wäre

W = T \cdot V

und

T = W \cdot V^{- 1}

ist eine

3 \times 2

-Matrix.

Gruß pwm

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