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Wie bestimme ich hier die kanonische Basis?

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: kanonische Basis, Matrizenrechnung

sabrinchen aktiv_icon

13:47 Uhr, 06.12.2009

Hey :-),
ich soll hier aus einer Matrix die Matrix

M_{ε}^{B} (F)

für die kanonische Basis

ε

des

ℝ^{3}

und die Basis

B := (e_{1} + e_{2}, e_{2} + e_{3}, e_{2})

aufstellen. Wie mache ich dies?

Die Matrix lautet wie folgt:

(\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array})

lG Brina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

15:33 Uhr, 06.12.2009

Hallo Sabrina,

kannst du die Aufgabe noch mal detailgetreuer wiedergeben?

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

15:37 Uhr, 06.12.2009

Hey, na klar:

"Bestimmen Sie für D die Matrix

M_{ε}^{B} (F_{D})

für die kanonische Basis

ε

des

ℝ^{3}

und der Basis

B := (e_{1} + e_{2}, e_{2} + + e_{3}, e_{2})

. Dies ist die genaue Aufgabenstellung. D ist die Matrix aus dem ersten Post.

lG Sabrina

michaL aktiv_icon

16:35 Uhr, 06.12.2009

Hallo Sabrina,

also, die Abbildung

F_{D}

bildet nun jedes

x \in ℝ^{3}

auf

F_{D} (x) = D \cdot x

ab. Dabei ist

x

ein Koordinatenvektor bzgl. der kanonischen Basis,

D \cdot x

ebenfalls. Eigentlich muss der Vektor

D \cdot x

nur noch in einen Koordinatenvektor bzgl. der Basis

B

umgewandelt werden. Weißt du, wie man einen so genannten Basiswechsel machen kann?

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

16:53 Uhr, 06.12.2009

Basiswechsel? nein...keine Ahnung.

Was muss ich denn mit der Matrix anstellen?
oder brauche ich die nicht?

Meine Basen wären doch

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array})

und

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

richtig? aber was ist hier die kanonische basis? sind das die Spalten meiner matrix?

lG Sabrina

michaL aktiv_icon

17:02 Uhr, 06.12.2009

Hallo Sabrina,

keine Ahnung - kein Problem. Du hast die Basisvektoren gut aufgeschrieben. Betrachte sie doch mal - genauso geschrieben - als Matrix. Multipliziere mal den Vektor

(1; 0; 0)^{T}

(von links) dran.
Interpretiere das Ergebnis so: Der erste Basisvektor deiner Basis

B

hat bzgl. der Basis

B

ja gerade die Koordinatendarstellung

(1; 0; 0)^{T}

(eben 1mal

b_{1} = e_{1} + e_{2}

). Bzgl. der kanonischen Basis hat er aber die Form

(1; 1; 0)^{T}

. Und nun guck dir das Ergebnis der obigen Multiplikation an!
Wenn du die Basis in der anderen Richtung tauschen willst, brauchst du natürlich die inverse Matrix.
Gib mal Laut, ob du da mitgekommen bist. Dann machen wir weiter.

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

17:16 Uhr, 06.12.2009

Achso versteht man unter der kanonischen Basis einfach die Standardeinheitsvektoren?

Dann hätte ich für

B_{1} : (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = 1 (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + 1 (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + 0 (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Die Skalare vor dem Vektor würde ich dann Spaltenweiße in eine Matrix schreiben. So haben wir es auch im Tutorium gemacht. Allerdings verwirrt mich immer noch die Matrix D. Wann kommt diese zum Einsatz?

lG Sabrina

michaL aktiv_icon

17:28 Uhr, 06.12.2009

Hallo Sabrina,

jetzt, nachdem "wir" verstanden haben, was es mit einem Basiswechsel auf sich hat. Zusammenfassend: Will man von der kanonischen in eine andere Basis wechseln, stellt man eine Matrix auf, die spaltenweise aus den Basisvektoren der neuen Basis besteht, und invertiert die. Dann kann man die Vektoren durch Multiplikation von rechts an die entstandene Matrix von der einen Basis in die andere umformen.

Nun kommt

D

ins Spiel. Wir haben Bilder in der kanonischen Basis, die in eine neue Basisdarstellung umgewandelt werden sollen.
Also haben wir

y = D x

die Bilder dargestellt bzgl. der kanonischen Basis. Die wollen wir in die neue Basis umwandeln, dazu muss man die inverse Matrix

M

bilden, dann gilt

x ʹ = M y

.

Zusammengefasst gilt also:

x ʹ = M y = M (D x) = (M D) x

. Die gesuchte Matrix ist dann

M D

.

Bestimme doch mal die Matrix

M

(in meiner Notation), dann berechne

M D

, dann vergleichen wir.

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

17:54 Uhr, 06.12.2009

ach das nennt man also Basiswechsel? Dann hab ich jetzt also 3 neue Basen in meinefr Matrix stehen?

Diese Matrix sieht bei mir jetzt wie folgt aus:

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array})

warum muss ich diese Matrix denn nun invertieren?

lG

michaL aktiv_icon

18:10 Uhr, 06.12.2009

Hallo Sabrina,

weil es sonst alles nicht hinkommt.

Ok, wir rechnen noch mal beide zusammen. Wir betrachten den Basiswechsel von der kanonischen Basis in die Basis

B

. Da wir jetzt Koordinatenvektoren angeben, müssen wir auch sagen (bzw. schreiben) bzgl. welcher Basis diese Koordinatenvektoren zu verstehen sind. Sonst läuft alles kreuz und quer durcheinander. Ich hänge die gemeinte Basis (

E

bzw.

B

) als Index an den Vektor.

Betrachten wir mal

(1; 0; 0)_{E}^{T}

. Wenn ich den mit der von dir angegebenen Matrix multipliziere, erhalte ich

(1; 1; 0)_{E}^{T}

, was

(1; 0; 0)_{B}^{T}

entspricht. Nun möchte ich aber gern wissen, wie ich

(1; 0; 0)_{E}^{T}

als Koordinatenvektor bzgl.

B

darstellen kann. Aber

(1; 0; 0)_{B}^{T}

ist falsch, weil ja

(1; 0; 0)_{B}^{T} = (1; 1; 0)_{E}^{T}

entspricht.

Ergo: Das Multiplizieren von Koordinatenvektoren mit deiner Matrix liefert einen Wechsel von Basis

B

in die Basis

E

. Für den umgekehrten Vorgang musst du deine Matrix invertieren. Warum invertieren? Naja, wenn man die Wechsel

E \to B \to E

hintereinaderhängt, muss man mit den Koordinatenvektoren "nix" machen, das entspricht einer Multiplikation mit der Einheitsmatrix. Versteht man es aber als zweifachen Vorgang, also als zwei Matrixmultiplikationen, dann wird klar, dass die beiden Basiswechselmatrizen mit einander multipliziert die EInheitsmatrix ergeben müssen. Das bedeutet, dass die beiden invers zueinander sein müssen.

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

18:31 Uhr, 06.12.2009

ich versteh irgendwie nicht wo du drauf hinaus willst...kannst du mir das vlt. anhand eines beispiels zeigen?

lG Sabrina

michaL aktiv_icon

18:37 Uhr, 06.12.2009

Hallo Sabrina,

was ändert ein anderes Beispiel?

Ist dir aufgefallen, dass ich im Verhältnis zu dir relativ viel schreibe? Ich würde dir gern ein anderes Beispiel zeigen, dafür musst du mir aber erklären, warum dies schlecht ist. Sonst schreib ich mir wieder ne Viertelstunde die Finger wund und ernte ein "Kapier ich noch nicht." in irgend einer Variation. Ich helf dir gern weiter, wenn ich kann, aber ich muss es jetzt genauer wissen, sonst schreib und schreib ich.
Ich hoffe, du hast dafür Verständnis.

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

19:29 Uhr, 06.12.2009

Ja ich kann dich gut verstehen. Allerdings weiß ich auch nicht wie ich fragen soll, da es mir offenbar noch an Vokabeln mangelt. Bis zur Basiswechselmatrix ist mir soweit alles klar. Alles was danach kommt sind für mich böhmsche Dörfer. In der Vorlesung haben wir nie die Basiswechselmatrix invertiert und diese dann mit einer anderen Matrix multipliziert.Sry,

lG Sabrina

michaL aktiv_icon

20:42 Uhr, 06.12.2009

Hallo Sabrina,

danke für diese Antwort, sie hilft mir zu erkennen, wo das Problem liegen könnte. Ich bin jetzt auch (endlich) für ein anderes Beispiel, allerdings eher deshalb, weil man dann weniger schreiben muss. :-)

Ok, betrachten wir doch mal den

ℝ^{2}

und die kanonische Basis

E = {e_{1}, e_{2}}

bzw. die Basis

B := {b_{1} = (3; 2)_{E}^{T}, b_{2} = (2; 1)_{E}^{T}}

.
Der "Exponent"

T

steht da nur, weil ich mit den hier möglichen TeX-Mitteln keine Spaltenvektoren darzustellen. Der Index

E

soll heißen, dass dies ein Koordinatenvektor bzgl. Der Basis

E

sein soll. Normalerweise schreibt man dies nicht mit, aber hier brauchen wir auch Koordinatenvektoren bzgl. der Basis

B

und die muss man voneinander wohlunterscheiden.

Wir müssen nun 2 Dinge untersuchen:
1. Welches sind die Koordinatenvektoren der Basisvektoren der beiden Basen bzgl. der jeweils anderen Basis und der eigenen Basis?
2. Wie kann man die Koordinatenvektoren bzgl. der einen Basis umrechnen auf die andere Basis?

1. ist nicht so schwierig:

e_{1} = (1; 0)_{E}^{T} = 2 b_{2} - b_{1} = (- 1; 2)_{B}^{T}

e_{2} = (0; 1)_{E}^{T} = 2 b_{1} - 3 b_{2} = (2; - 3)_{B}^{T}

b_{1} = (3; 2)_{E}^{T} = 1 b_{2} + 0 b_{1} = (1; 0)_{B}^{T}

b_{2} = (2; 1)_{E}^{T} = 2 b_{1} + b_{2} = (0; 1)_{B}^{T}

Zu 2.
Will man jetzt einen Koordinatenvektor

(4; - 1)_{E}^{T}

umwandeln in einen Koordinatenvektor bzgl.

B

. Dazu muss man offenbar wissen, das Wiefielfache des Vektors

b_{1}

mit dem Wievielfachen von

b_{2}

addiert werden muss. Die Faktoren vor

b_{1}

bzw.

b_{2}

bilden dann den Koordinatenvektor bzgl.

B

. In diesem Fall muss man also die Gleichung

α \cdot b_{1} + β \cdot b_{2} = (4; - 1)_{E}^{T}

(1)
lösen. Mit ein bisschen Probieren kommt man auf

α = - 6

β = 11

, d.h. es gilt

(4; - 1)_{E}^{T} = (- 6; 11)_{B}^{T}

.

Aber wie kommt man man da dran, ohne zu raten? Die Gleichung (1) stellt nämlich eigentlich ein lineares Gleichungssystem dar. Nämlich folgendes:

3 α + 2 β = 4

2 α + β = - 1

So, betrachten wir mal die Matrix

A

3 2

2 1

Sie enthält als Spalten die Koordinatenvektoren

b_{1}

und

b_{2}

bzgl der Basis

E

.
Mit dieser Matrix kann man das Gleichungssystem (1) auch so darstellen:

A \cdot (α; β)^{T} = (4; - 1)^{T}

(2)
Da

(α; β)^{T}

der Koordinatenvektor von

(4; - 1)_{E}^{T}

bzgl.

B

ist (guck noch mal oben), also

(4; - 1)_{E}^{T} = (α; β)_{B}^{T}

gilt, kann man sagen, dass man die Koordinatenvektoren bzgl.

B

mit der Matrix

A

multiplizieren muss, um den entsprechenden Koordinatenvektor bzgl.

E

zu erhalten.
Umgekehrt: Multipliziere die Gleichung (2) mit

A^{- 1}

von links, dann erhält man:

(α; β)^{T} = A^{- 1} \cdot (4; - 1)^{T}

(2)
also muss man den Koordinatenvektor bzgl.

E

mit der Inversen von

A

multiplizieren, um den entsprechenden Koordinatenvektor bzgl.

B

zu erhalten.

So, alles klar?

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

23:46 Uhr, 06.12.2009

oh :-) da hast du dir aber mühe gegeben :-) Dankeschön!

Also muss ich jetzt eigentlich nur noch meine Matrix D invertieren und mit der Basiswechselmatrix multiplizieren, richtig? Und was dort herauskommt ist mein

M_{ε}^{B} (F_{D})

? oder hab ich was falsch verstanden?

lG Sabrina

michaL aktiv_icon

00:00 Uhr, 07.12.2009

Hallo Sabrina,

ja, du hast was falsch verstanden.

D

ist die Abbildungsmatrix, die wird nicht invertiert. Invertiert wird die Matrix, deren Spalten aus den Vektoren der Basis

B

besteht. Diese Inverse multiplizierst du dann von links an

D

. Das Ergebnis ist die gesuchte Lösung.

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

00:02 Uhr, 07.12.2009

Achso, mhnm ich werde mir heut nachmittag deinen text noch einmal durchlesen und die gesucht matrix berechnen. leg mich jetzt erst mal schlafen.

Also gute Nacht und noch mal vielen Dank für Geduld und Mühe

sabrinchen aktiv_icon

17:23 Uhr, 07.12.2009

Hi,
ich habe noch mal 2 Fragen ;D

Kannst du mir sagen wie man diese Basiswechselmatrix bezeichnet? Ist die korrekte Formulierung

T_{B ʹ}^{B} (F) = M a t r i x

oder

T_{ε}^{B} (F) = M a t r i x

? oder muss das Epsilon dort noch irgendwo stehen?

Und meine zweite Frage besteht darin, weshalb man die invertierte Matrix mit der Abbildungsmatrix überhaupt Multiplizieren soll. Bzw, welcher sinn steckt dahinter?

lG Sabrina

michaL aktiv_icon

20:57 Uhr, 07.12.2009

Hallo Sabrina,

für die Basiswechselmatrix kenne ich folgende beiden Bezeichnungen:

M a t_{B}^{B ʹ} (i d)

bzw.

M_{B}^{B ʹ} (i d)

. Das ist aber eine Frage des Profs, Hauptsache, er erklärt, was mit seinen Abkürzungen gemeint ist. Sollte sich bei euch

T_{B}^{B ʹ} (i d)

eingebürgert haben, dann ok.
Wichtig ist eigentlich nur (und das gabs ganz sicher), dass ihr einen Satz wie den folgenden bewiesen habt:

M a t_{E}^{B ʹ} (i d) \cdot M a t_{E}^{E} (f) \cdot M a t_{B}^{E} (i d) = M a t_{B}^{B ʹ} (f)

In der Schreibweise mit den

T

würde der so lauten:

T_{E}^{B ʹ} (i d) \cdot T_{E}^{E} (f) \cdot T_{B}^{E} (i d) = T_{B}^{B ʹ} (f)

Unabhängig von der Schreibweise sollen

E

B

und

B ʹ

Basen sein,

f

eine Abbildung. Dann ist die erste Matrix diejenige, die den Basiswechsel von

E

nach

B ʹ

vollzieht, die zweite die Matrix, mit der man die Koordinatenvektoren bzgl. der Basis

E

multiplizieren muss, um die Bilder unter

f

zu erhalten. Die dritte Matrix vollzieht den Basiswechsel von

B

nach

E

, die vierte ist diejenige Matrix, mit der man Koordinatenvektoren bzgl.

B

multiplizieren muss, um die Bilder unter

f

als Koordinatenvektoren bzgl.

B ʹ

zu erhalten.
Viele Worte, wenig Sinn, denn die Formel ist viel prägnanter!

Zur 2. Frage:
* dumme Antwort: Um die Aufgabe zu lösen.
* (hoffentlich) clevere Antwort: diese Multiplikation ermöglicht, direkt das Bild eines Vektors als Koordinatenvektor bzgl. einer anderen Basis darzustellen. Warum das gut sein kann, ist doch erst einmal nebensächlich. Aber: manche Abbildungsmatrizen haben bzgl. geschickt gewählter Basen eine einfache Darstellung. So einfach, dass sich dafür der Basiswechsel lohnt. Für manche Abbildungen ist bzgl. der kanonischen Basis die passende Matrix nur mit erheblichem Aufwand zu finden. Verwendet man den obigen Satz und kann eine geschickte Basis finden, werden die Rechnungen viel einfacher und kürzer.

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

23:24 Uhr, 07.12.2009

oh wieder so ein langer text :-) besten Dank.

Die darstellung mit dem T hab ich bei Wikipeida gesehen ;D
Nun hab ich noch eine letzte Frage, dann habe ich hoffentlich alles gelöffelt :-)

Warum muss man die Matrix invertieren? Was würde denn herauskommen, wenn ich ide Matrix nicht invertiere und Mit

M_{D}

multipliziere?

michaL aktiv_icon

23:31 Uhr, 07.12.2009

Hallo Sabrina,

dann kommt eine Matrix heraus, die entweder eine andere Abbildung darstellt bzgl. der angegebenen Basen, oder es kommt eine Matrix heraus, die zwar die gleiche Abbildung darstellt, aber nicht bzgl. der angegebenen Basen.

Mit anderen Worten: es kommt Unfug raus.

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

23:34 Uhr, 07.12.2009

okay, ich habe mich vlt es unpassend ausgedrückt. Weshalb invertieren wir diese Matrix? Ich kann ja schlecht schreiben "nun invertieren wir die matrix, damit kein unfug heraus kommt"

michaL aktiv_icon

23:44 Uhr, 07.12.2009

Hallo Sabrina,

dazu habe ich dir ein Beispiel vorgerechnet am 6.12. um 20:42 Uhr. Mehr ist mE nicht dazu zu sagen.

Mfg Michael

sabrinchen aktiv_icon

23:47 Uhr, 07.12.2009

ach da ganz unten :-) alles klar, dann sollte ich jetzt alles verstanden haben =)
besten Dank noch einmal für deine Geduld und die Bemühungen =)

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