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Wie bestimmt man die Dimension von Unterräumen?

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angewandte lineare Algebra

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Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Lineare Unabhängigkeit, unterräume dimensionen basen

niete-10 aktiv_icon

11:07 Uhr, 12.05.2010

Hallo ihr,

ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:

es gibt 4 Vektoren

v 1 = (1,0,1,0), v 2 = (2,0,1,1), v 3 = (- 2,0,0, - 2)

und

v 4 = (1,1,1,1)

jetzt soll ich die Dimension folgender Unterräume bestimmen:

U 1 :=

Lin(v1,

v 2, v 3)

U 2 :=

Lin(v1,

v 2) +

Lin(v3,

v 4)

U 3 := U 1

geschnitten

U 2 .

U 1

hab ich so gelöst, dass ich gezeigt habe, dass sich der Vektor

v 3

durch

(- 2) v 1 + 2 (v 2)

darstellen lässt! daraus folgt doch, dass die Dimension von

U 1 = 2

ist oder??

bei

U 2

weiß ich folgendes nicht: kann ich einfach alle 4 vektoren zusammen nehmen? dann wäre für mich die Dimension von

U 2 = 3,

oder muss ich je

v 1, v 2

und

v 3, v 4

zu zweit betrachten? wenn ja wie?

Würde mich freuen wenn mir jemand hilft! :-)

Liebe Grüße, niete-10

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

smoka

12:49 Uhr, 13.05.2010

Die Dimension eines Vektorraums entspricht der Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems.
Wenn Du bei

U_{1}

gezeigt hast, dass nur

v_{1}

und

v_{2}

linear unabhängig sind, dann hast Du recht und die Dimension ist 2

Ja, bei

U_{2}

kannst Du den Vektorraum betrachten, der von allen vieren aufgespannt wird. Prüfe nach welche linear unabhängig sind, dann hast Du eine Basis in der Hand.