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Wie beweise ich die Symmetrie des Skalarprodukts?

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Lineare Abbildungen

Skalarprodukte

Tags: Eigenwert, Komposition, Linear Abbildung, Skalarprodukt

BennixXxAmber aktiv_icon

14:40 Uhr, 28.01.2019

Hallo zusammen,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: "Sei

V

eine reeller Vektorraum und

<, > :

VxV

\to R

ein Skalarprodukt auf V. Seien

φ, ψ : V \to V

lineare Abbildungen, sodass

<, >_{φ}

und

<, >_{ψ}

symmetrisch sind. Zeigen Sie, dass

<, >_{φ \circ ψ}

genau dann symmetrisch ist, wenn

φ \circ ψ = ψ \circ φ

.

Wie kann ich mir

<, >_{φ}

und

<, >_{ψ}

vorstellen?

z . B

. so:

<, >_{φ} : (v, w) \to < v, w >_{φ} = < v, φ (w) >

und

<, >_{ψ} : (v, w) \to < v, w >_{ψ} = < v, ψ (w) >

?

Zu zeigen ist:

< v, w >_{φ \circ ψ} = < w, v >_{φ \circ ψ}

. Ich bin mir jetzt nicht sicher wie ich da die Information

φ \circ ψ = ψ \circ φ

unterbringen kann. Wann ist denn die Reihenfolge der Kompostion zweier Abbildungen egal? Ich bitte um Hilfe.

Danke im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

HAL9000

15:38 Uhr, 28.01.2019

Wenn ich das richtige verstehe, dann ist

〈 v, w 〉_{ϕ} := 〈 v, ϕ (w) 〉

überhaupt erstmal die DEFINITION dieses zweistelligen Operators

〈, 〉_{ϕ}

, ist das so?

katzenhihi aktiv_icon

15:47 Uhr, 28.01.2019

Eu rechnest erst das eine also skalar von

v, w

aus. Durch die Regel, dass man Faktoren bei der multiplikation verstauschen darf, kannst du es gleich Skalar von

w, v

schreiben. Bsp: wenn du

2 x 1 + 4 x 2

gegeben hast kannst du für Skalar

v, w

schreiben:

2 v 1 w 1 + 4 v 2 w 2

und das ist das gleiche wie Skalar

w, v = 2 w 1 v 1 + 4 w 2 v 2

(da du es auch als

2 v 1 w 1 + 4 v 2 w 2

Schreiben kannst)

BennixXxAmber aktiv_icon

16:28 Uhr, 28.01.2019

Nein, das Skalarprodukt ist nicht zwingend so definiert. Ich habe nur das gegeben was in der Aufgabenstellung steht. In einer vorgehenden Aufgabe war

<, >_{φ}

so definiert, deshalb wäre das ja eine moegliche Definition. Ich denke hier muss man das aber allgemein machen.

BennixXxAmber aktiv_icon

16:37 Uhr, 28.01.2019

Ja, wenn das so einfach wäre. Das Problem ist ja das ich kein explizites Skalarprodukt gegeben habe. Ich habe keiner Abbildungsvorschrift. Mit φ∘ψ=ψ∘φ muss allgemein die Symmetrie des Skalarprodukts einhergehen.

HAL9000

16:51 Uhr, 28.01.2019

> In einer vorgehenden Aufgabe war

〈, 〉_{ϕ}

so definiert, deshalb wäre das ja eine moegliche Definition.

Ich deute das mal so: Du weißt nicht zuverlässig, wie

〈, 〉_{ϕ}

bei euch definiert wurde und flüchtest dich deshalb in Unverbindliches wie

> Ich denke hier muss man das aber allgemein machen.

Dass man so die Aufgabe nicht lösen kann, ist dir vermutlich nicht klar. Es braucht klare und deutliche Ansagen, wie

〈, 〉_{ϕ}

und

ϕ

zusammenhängen statt so eines Wischiwaschi. Also schau besser nochmal nach.

BennixXxAmber aktiv_icon

17:41 Uhr, 28.01.2019

Ok, mal angenommen

<, >_{φ}

und

<, >_{ψ}

sind so definiert wie ich bei der Frage geschrieben habe. Wie würde man dann vorgehen, um die Symmetrie zu beweisen?

BennixXxAmber aktiv_icon

19:27 Uhr, 28.01.2019

Ok ich habe folgendes ausprobiert (siehe Anhang Bild). Bitte um Ueberpruefung der Richtigkeit.

pwmeyer aktiv_icon

13:40 Uhr, 29.01.2019

Hallo,

warum wendest Du in der 5. Gleichung das

ψ

auf den ersten und nicht auf den zweiten, ebenso bei der letzten?

Grundsätzlich bist Du aber auf dem richtigen Weg.

Gruß pwm

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