Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wie bildet man den Kern der Matrix ?

Wie bildet man den Kern der Matrix ?

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Eigenwert, freie Vektoren, gebundene Vektoren, Kern, Linear Abbildung, Matrix, Matrizenrechnung

lernmeister13 aktiv_icon

18:07 Uhr, 22.08.2021

Hallo, ich soll laut Aufgabe den Kern der Matrix bestimmen und das tat ich auch und erhielt die mittlere Matrix. Meine Frage ist wie kommt man jetzt auf dem rechten Ausdruck ? Welche Zahl ist ein gebundener und welche Zahl ist ein freier Vektor. Hinzu würde ich gerne wissen was eigentlich freie und gebundene Vektoren bedeuten. Sind gebundene Vektoren=Einheitsvektoren ?

siehe Bild

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

pwmeyer aktiv_icon

19:12 Uhr, 22.08.2021

Hallo,

es geht um den ganzen Komplex, Gleichungssysteme zu lösen. Das lässt sich nicht in wenigen Sätzen erklären. Aber mal ein paar Hinweise zu Deinen Beispiel.

Der Kern einer Matrix A sind alle Vektoren

x -

hier aus dem

ℝ^{3} -,

die die Gleichung

A \cdot x = 0

erfüllen. Durch das Gauß-Verfahren wird diese Gleichungssystem äquivalent umgeformt, so dass hier am Ende nur noch die eine Gleichung übrig bleibt:

x_{1} + \frac{1}{6} \cdot x_{2} + \frac{2}{3} \cdot x_{3} = 0

Diese Gleichung hat offenbar beliebig viele Lösungen, man kann

x_{2}

und

x_{3}

beliebig wählen und dann passend dazu

x_{1}

so bestimmen, dass die Gleichung erfüllt ist.

(Man kann auch erste

x_{1}

und

x_{3}

wählen und daraus

x_{2}

bestimmen. Üblicherweise wählt man nach Möglichkeit die letzten Variablen als freie Variable.)

Also: Man kann

x_{2} = s

und

x_{3} = t

mit

s, t \in ℝ

setzen, dann ist

x_{1} = - \frac{1}{6} \cdot s - \frac{2}{3} \cdot t

Also haben alle Lösungen die Form

x = (\begin{matrix} - \frac{1}{6} \cdot s - \frac{2}{3} \cdot t \\ s \\ t \end{matrix}) = s \cdot (\begin{matrix} - \frac{1}{6} \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Diese beiden Vektoren spannen jetzt den Kern auf. Das angegebene ERgebnis ist jetzt noche eine kleine Verschönerung, indem man die Basis-Vektoren noch mit einem Faktor multipliziert, damit keine Brüche auftreten.

"Welche Zahl ist ein gebundener und welche Zahl ist ein freier Vektor." Diese Frage beruht irgendwie auf einem Missverständnis, Zahlen sind (praktisch) nie Vektoren.

Gruß pwm

lernmeister13 aktiv_icon

18:25 Uhr, 25.08.2021

Vielen vielen dank jetzt habe ich es gesehen. Du hast es bloß ,wie du es ja geschrieben hast, verschönert sprich

s

und

t

rausgezogen. Das mit

x 1 = ... . .

. hatte ich auch raus und für

x 2

und

x 3

habe ich auch

s

und

t

gewählt aber wie du habe ich das Ergebnis nicht verschönert. Vielen vielen Dank

!!

1541186

1541100

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?