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Wie definiert man eine lineare Abbildung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen, Lineare Algebra

Astasor aktiv_icon

21:02 Uhr, 17.02.2010

Wie definiert man eine Lineare Abbildung? Also in Worten.

Kann man das so machen?

f : R^{n} \to R^{m}

Jedem Wert von

f

wird in

R^{m}

ein genauer Wert zugeordnet. Denn eine Funktion ist linkstotal und rechtseindeutig.

Was ist eine lineare Abbildung überhaupt? Für "Abbildung" kann man doch auch das Wort "Funktion" nehmen, oder?

Wen ich Beispiele für die Abbildung einer Funktion wie

f (x, y, z)

R^{2}

sehe, kommen die immer mit einer kompletten Matrix daher und knobeln sich so die neue Matrix aus. Deswegen wäre es nett wenn mir jemand bitte das Prinzip der linearen Abbildung mit einfachen Worten erklärt.

Vielen Dank fürs Lesen und drüber nachdenken.

mfg Astasor

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CKims aktiv_icon

21:34 Uhr, 17.02.2010

hey,

ich weiss nicht ob du irgendetwas tiefgruendigeres im kopf hast als ich, aber in wurde ich das folgende dazu sagen.

also erstmal ist eine abbildung dasselbe wie eine funktion. der begriff funktion wird oft lieber genannt wenn es einfach um zahlen geht und abbildung bei allem anderen wie

z . B

. figuren oder so... da trennen sich aber die gemueter.

also in worten ist eine lineare funktion eine funktion, deren graf wie eine gerade linie aussieht. genauer muss man aber noch sagen dass diese linie durch den ursprung des koordinatensystems geht. mehr ist nicht dabei. daraus ergeben sich dann die eigenschaften die man zur definition von linearen funktionen hinzugezogen hat.

wenn man diese eigenschaften hat, moechte man sich nicht auf den eindimensionalen fall beschraenken und kann dann den begriff auf alle moeglichen dimensionen erweitern.

tja

. .

. das faellt mir dazu ein..

Astasor aktiv_icon

22:34 Uhr, 17.02.2010

Das klingt doch schonmal gut. Danke, MokLok. :-)

Weis zufällig auch jemand, wie man eine berechnet? Ich habe im Internet Skripte verschiedener Hochschulen und Unis durchgesehen und nur allgemeine Definitionen gefunden.

Kann mir beispielsweise jemand das hier genauer erklären?

f : ℝ^{3} \to ℝ

a_{1}, a_{2}, a_{3} \in ℝ

f (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} + a_{3} \cdot x_{3}

Was ist das, was auf der rechten Seite des "=" steht? Wie nennt man das und müsste man für

f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

ähnlich vorgehen, wie zum Beispiel:

f (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \cdot x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} \\ a_{3} \cdot x_{3} \end{matrix})

Ich bin was lineare Abbildungen betrifft echt überfordert, obwohl ich schon gehört hab das es total einfach sein soll.
Über Hilfe freue ich mich immer.

mfg Astasor

CKims aktiv_icon

23:02 Uhr, 17.02.2010

meinst du mit "eine lineare funktion berechnen" eine funktion zu linearisieren?

ich weiss nicht aus welchem kontext des skripts deine beispiele entrissen wurden. aber das sind beispiele linearer funktionen.

rechts vom "=" steht einfach der funktionsterm wie auch bei

f (x) = x^{2}

rechts davon einfach die funktion da steht.

in deinen beispielen wird keine lineare funktion "berechnet". man koennte diese funktionen hoechstens auf linearitaet pruefen.

Astasor aktiv_icon

13:14 Uhr, 18.02.2010

Mit "eine lineare Funktion zu berechnen" meinte ich die Funktion zu

ℝ^{n}

aufzuschreiben.

Also sei für

ℝ^{m}

eine Funktion

f (x, y, z)

gegeben und das man die lineare Abbildung auf

ℝ^{n}

angeben soll. Wie macht man sowas?

Kannst du, MokLok oder jemand anderes mal ein konkretes Beispiel für eine lineare Abbildung angeben und mir erklären warum das dasteht, was dasteht?

CKims aktiv_icon

13:22 Uhr, 18.02.2010

hmm...

ich uebersetz mal deine frage in schulmathematik. aber nehme ich das thema parabeln, weil diese ja nicht linear sind. das kannst du ja schon sicherlich.

sei fuer

ℝ

eine funktion

f (x)

gegeben. es soll eine parabelfoermige abbildung auf

ℝ

angegeben werden.

Antwort??

Astasor aktiv_icon

13:31 Uhr, 18.02.2010

Ist die Antwort vielleicht:

x^{2}

??

Du schreibstest ja "parabelnförmige Abbildung".

hagman aktiv_icon

14:57 Uhr, 18.02.2010

Im allgemeinen ist eine linare Abbildung einfach eine Abbildung von einem Vektorraum

V

in einen anderen Vektorraum

W

mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass die Abbikldung mit Summen und Vervielfachungen verträglich ist.
Es muss also für

v_{1}, v_{2} \in V

stets

φ (v_{1} + v_{2}) = φ (v_{1}) + φ (v_{2})

gelten und für

v \in V

und

c \in ℝ

(oder eventuell in einem anderen Grundkörper) muss

φ (c \cdot v) = c \cdot φ (v)

gelten.

Im einfachen Fall, dass

V_{1} = ℝ^{n}

ist und

V_{2} = ℝ,

ist eine Abbildung

φ : V_{1} \to V_{2}

genau dann linear, wenn sie von der Form

φ (x_{1}, ..., x_{n}) = a_{1} \cdot x_{1} + . .

+ a_{n} \cdot x_{n}

mit Konstanten

a_{k} \in ℝ

ist.
Eine lineare Abbildung

ℝ^{n} \to ℝ^{m}

ist entsprechend aus

m

Komponenten dieser Form zusammengesetzt; im Prinzip besteht die Abbildung dann aus der Multiplikation einer

m \times n

-Matrix mit dem "Input"-Vektor.

Aber nicht jede lineare Abbildung hat diese Form!!
So bilden die stetigen Abbildungen

f : [0,1] \to ℝ

einen Vektorraum

V = C ([0,1])

.
Die Abbildung

φ : C ([0,1]) \to ℝ,

die

f \in C ([0,1])

auf

\int_{0}^{1} f (x) d x \in ℝ

abbildet, ist dann eine lineare Abbildung, denn es gelten die bekannten Rechenregeln für Integrale:

φ (f_{1} + f_{2}) = \int_{0}^{1} (f_{1} (x) + f_{2} (x)) d x = \int_{0}^{1} f_{1} (x) d x + \int_{0}^{1} f_{2} (x) d x = φ (f_{1}) + φ (f_{2})

sowie

φ (c \cdot f) = \int_{0}^{1} c \cdot f (x) d x = c \cdot \int_{0}^{1} f (x) d x = c \cdot φ (f)

Astasor aktiv_icon

21:40 Uhr, 19.02.2010

Danke für diese ausführliche Antwort, hagman.

Mit stetigen Vektoren rechnen wir noch nicht und ich verstehe nicht, was deine Erklärung bedeutet.

φ (x 1, . .

, x n) = a 1

⋅

x 1 + . .

+ a n

⋅

x n

wie schreibt man diese Form richtig aus?

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