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Wie erweitere ich die Basis?

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Lineare Gleichungssysteme, Matrizenrechnung, Vektorraum

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18:34 Uhr, 30.08.2016

Sei

U

⊂

K^{n}

ein Vektorraum der Dimension

k < n

und xp ∈

K^{n}

.
Zeigen Sie, dass es ein lineares Gleichungssystem A ·

x = b

mit

n

−

k

Gleichungen und

n

Unbekannten gibt, das als Lösungsmenge genau xp

+ U

hat.
Tipp: Erweitern Sie eine Basis von

U

zu Basis von

K^{n}

.

Nach meinem Verständnis:

U

ist ein Untervektorraum dessen Dimension kleiner ist als die es Vektorraums

K^{n} (k < n)

xp ist ein Vektor des Vektorraums

K^{n}

. Zudem ist der Vektor xp nicht in U.

xp+U ist die Lösungsmenge der Gleichungssystem, die

n - k

Gleichungen haben und

n

Unbekannte.

Meine einzige Idee:
Ich weiß, dass wenn ich eine konkrete Lösung für

x

finde und diese mit dem Kern(A) addiere,
die Lösungsmenge des Gleichungssystems bestimmen kann. xp wäre dann auch ein Vektor aus

K^{n},

da die Matrix A auch

n

Unbekannte hat. Aber der Vektor xp soll halt nicht mit dem Kern, sondern mit U(?) addiert werden?

Zudem weiß ich auch nicht, was ich mit dem Tipp anfangen soll.
Denkanstöße, Links zu verwandten Themen oder auch Beseitigen von Denkfehlern sind sehr erwünscht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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21:27 Uhr, 30.08.2016

Versuche diese Idee zu verallgemeinern:
www.math.hu-berlin.de~in2math/aufg/aufg/L4504018.pdf

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22:57 Uhr, 30.08.2016

Ok. Wie ich sehe hast du einen Unterraum

U

des Standardvektorraums

R^{3}

gegeben.
Du definierst einen Vektor

f,

der als Linearkombination von ae1+be2+ce3 geschrieben werden kann, wobei

a, b, c

Skalare aus

R

sind.

Du definierst ein Skalarprodukt über den Vektor

f

und den Punkt

(3,1, - 2)

und erhälst das
Gleichungssystem, welches deine Koordinaten in Skalare umwandelt, spricht:

3 a + 1 b - 2 c

.

Jetzt löst du diese Gleichungssystem mit 3 Unbekannten. Durch probieren kommst du auf 2 Lösungen, alle weiteren wären dann wohl eine Linearkombination.

Die 2 Lösungen werden wiederum als Skalare von 2 neuen Gleichungssysteme genommen, die den angegebenen Untervektorraums als Lösungsmenge besitzt.

Wenn ich das richtig verstanden haben sollte, sehe ich noch nicht den Zusammenhang. xD

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23:16 Uhr, 30.08.2016

Allgemein geht es ungefähr so.
Sei

U

ein Unterraum von Dimension

k

in einem

n

-dimensionalen Raum.
Zuerst wird eine Matrix

A

gesucht, so dass die Lösungsmenge von

A x = 0

gleich

U

ist.
Dazu nehme eine Basis

(c_{11}, . . ., c_{1 n}), . . ., (c_{k 1}, . . ., c_{k n})

U

und schreiben ein System

c_{11} x_{1} + . . . + c_{1 n} x_{n} = 0

...

c_{k 1} x_{1} + . . . + c_{k n} x_{n} = 0

.
Dieses System hat den Lösungsraum

V

, von der Dimension

n - k

. Nehme eine Basis

(a_{11}, . . ., a_{1 n}), . . ., (a_{n - k, 1}, . . ., a_{n - k, n})

dieses Unterraumes.
Dann hat das System

a_{11} y_{1} + . . . + a_{1 n} y_{n} = 0

...

a_{n - k, 1} x_{1} + . . . + a_{n - k, n} y_{n} = 0

genau

U

als Lösungsraum. Damit ist die Matrix

A

gefunden.
Wenn jetzt

b := A x_{p}

, dann hat das System

A x = b

als Lösung

x_{p} + U

, denn aus

A x = b

folgt

A (x - x_{p}) = b - b = 0

, also

x - x_{p}

liegt in

U

, und umgekehrt.

Versuche die Einzelschritte selber nachzuvollziehen.

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16:34 Uhr, 01.09.2016

Ich habe mich jetzt die letzten 2 Tage mit Freunden an deine Lösung drangesetzt.

Anhand deiner Beispielaufgabe:
Für den Untervektorraum

(3,1,2)

suchst du die Basis des Kerns.
Sprich:

(1, - 3,0), (0,2,1)

Diese Basis schreibst du als Gleichungssystem, welche dann natürlich den Untervektorraum

(3,1,2)

als Lösungsmenge hast.

1 a - 3 b = 0

2 b - 1 c = 0

Die Basis des Kern(U) ist allein wegen Definition unabhängig.

Anhand deiner allgemeinen Lösung:
Gesucht: Ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösungsmenge xp

+ U

ist.

Nach gleichen Prinzip gehen wir wie oben vor:
Wir bestimmen die Basis des Kerns der Matrix

A,

sodass

A \cdot x = 0

ist. (Kern(U))

Du nimmst eine Basis des Kerns von

U :

Da die Matrix nicht quadratisch ist

(k < n)

haben wir mehr Unbekannte als Gleichungen, somit ist die Dimension des Kern

> 0

. Und dieses System hat den Lösungsraum V(?).
Vermutlich meinst du mit

V

den Vektorraum der nach Anwendung der Funktion bzw. Matrix A auf den Wertebereich von

V

zeigt (auf 0 zeigt). Die Dimension des Kerns ist

k,

sodass die Dimension des Vektorraum

V

nur noch

n - k

sein kann.

Wieso nimmst du jetzt erneut eine Basis des Kern(V)?
Woher kommt der Vektor (y1....yn)?
Wieso hat dieses System genau

U

als Lösungsraum?

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16:45 Uhr, 01.09.2016

"Vermutlich meinst du mit V den Vektorraum der nach Anwendung der Funktion bzw. Matrix A auf den Wertebereich von V zeigt (auf 0 zeigt)."

Keine Ahnung, was Du sagen willst. Ich meine den Lösungsraum des Systems, wie es auch geschrieben steht.

"Wieso nimmst du jetzt erneut eine Basis des Kern(V)?"

Was soll denn Kern(V) bedeuten? V ist ein Raum, keine Abbildung.

"Woher kommt der Vektor (y1....yn)?"

Er kommt nirgendwoher,

y_{1}

bis

y_{n}

sind nur Variablen. Ich kann doch kein System aufschreiben, ohne Variablen zu nutzen. Es könnten genauso gut auch

z_{1}

bis

z_{n}

sein.

"Wieso hat dieses System genau U als Lösungsraum?"

Weil nach Konstruktion die Basisvektoren von

U

, also

(c_{11}, . . ., c_{1 n})

usw.
dieses System lösen, außerdem wissen wir, dass der Lösungsraum die Dimension

k

hat.

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17:16 Uhr, 01.09.2016

Ok, ich denke ich muss das noch einmal von oben durchgehen.

Wir suchen zuerst die Matrix

A,

welche die Vektoren vom Definitionsbereich auf den Wertebereich abbildet. Wir setzen dieses Gleichungssystem

= 0

. Es ist also ein homogenes Gleichungssystem oder anders: Wir bestimmen den Kern der Matrix von A.

Die Variablen (x1...xn) kommen ja vom Vektor

A \cdot x

oder sehe ich das falsch?

x 1

bis xn sind also Einträge eines Vektors, der mit A multipliziert wird.
Dieses System hat den Lösungsraum (Untervektoraum) V.

Der Untervektorraum

V

hat die Dimension

n - k

. Soweit so gut.

Und jetzt nimmst du erneut eine Basis "dieses Unterraums". Basis von

U

oder Basis von V?

Wahrscheinlich nimmst du erneute eine Basis des Unterraums

U

mit der Dimension des Lösungsraum

V

also

n - k

?

Ist da irgendein Denkfehler drin?

Und die Variablen müssen doch irgendwo herkommen. Aber anscheinend entstehen sie einfach aus den Produkt mit der Matrix A. Nur diesmal heißen die Einträge anscheinend (y1...yn) statt (x1..xn).

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19:06 Uhr, 01.09.2016

"Wahrscheinlich nimmst du erneute eine Basis des Unterraums U mit der Dimension des Lösungsraum V also..."

Man kann keine Basis von U mit der Dimension von V nehmen. Eigentlich ist das sogar rein sprachlich gesehen total verkehrt.

Gut, ich versuche ein Beispiel durchzurechnen.
Wir betrachten den Unterraum

U

ℝ^{5}

, mit der Basis

u_{1} = (1, 0, 0, 1, 0)

u_{2} = (1, 2, 0, 0, 0)

und

u_{3} = (0, 1, 0, 0, 0)

. Also

\dim (U) = 3

. Wir suchen jetzt ein Gleichungssystem

A x = 0

, so dass

U

genau der Lösungsraum davon ist, oder anders gesagt, so dass

U = K e r n (A)

(wenn man

A

als Abbildung sieht).
Dafür nehmen wir die Basisvektoren von oben und schreiben ein entsprechendes System auf, wie ich allgemein gemacht habe.
Diesmal wird es dieses System sein:

1 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} + 1 \cdot x_{4} + 0 \cdot x_{5} = 0

1 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} + 0 \cdot x_{4} + 0 \cdot x_{5} = 0

0 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} + 0 \cdot x_{4} + 0 \cdot x_{5} = 0

.

Der Lösungsraum dieses Systems ist zweidimensional (

2 = 5 - 3

) und hat z.B. diese Basis:

(0, 0, 0, 0, 1)

(0, 0, 1, 0, 0)

(in diesem Fall ist nicht wirklich notwendig, das System zu lösen, denn man sieht, dass diese Vektoren im Lösungsraum liegen, und aus Dimensionsgründen müssen sie eine Basis sein). Damit haben wir in der allgemeinen Notation aus meiner bisherigen Antwort:

V = < (0, 0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 0) >

(also

V

ist von diesen Beiden Vektoren erzeugt).

Jetzt der zweite Schritt: wir schreiben das System auf, welches als Koeffizienten diese zwei Vektoren hat. Das ist das System

0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 0 \cdot x_{3} + 0 \cdot x_{4} + 1 \cdot x_{5} = 0

0 \cdot x_{1} + 0 \cdot x_{2} + 1 \cdot x_{3} + 0 \cdot x_{4} + 0 \cdot x_{5} = 0

.
Dieses System hat einen dreidimensionalen Lösungsraum, und dieser Raum ist exakt

U

.
Warum - weil

u_{1} = (1, 0, 0, 1, 0)

u_{2} = (1, 2, 0, 0, 0)

und

u_{3} = (0, 1, 0, 0, 0)

alle im Lösungsraum sind (kann man leicht nachprüfen). Und aus Dimensionsgründen bilden diese drei Vektoren auch eine Basis von

U

. Damit ist

U = < (1, 0, 0, 1, 0), (1, 2, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0) >

. Und damit hast Du auch das gesuchte Gleichungssystem.

Jetzt musst Du nur verstehen, dass dieses Vorgehen auch allgemein anwendbar ist.

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19:16 Uhr, 01.09.2016

Ok ich verstehe es nun. Tut mir leid, dass es so viel Arbeit gemacht hat. Aber ich bin derzeit nicht so gut in Mathe. Sitze aber seit

10

Uhr an der Aufgabe und kann nun endlich nach Hause - dank dir. Sorry noch einmal und danke fuer die Muehe.

Bin trotzdem mega happy. xd

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19:43 Uhr, 01.09.2016

Das war auch keine einfache Aufgabe.

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