Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Wie funktionieren zyklische Gruppen?

Wie funktionieren zyklische Gruppen?

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, zyklische Gruppe

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Foreneinsiedler

Foreneinsiedler aktiv_icon

14:53 Uhr, 31.01.2015

Antworten
Guten Tag,

ich habe ein größeres Problem mit zyklischen Gruppen und zwar war es mir trotz langen und intensiven Recherchen nicht möglich, zu verstehen wie sie funktionieren geschweige denn wie ich jetzt solch eine Aufgabe löse.

Folgendes ist eine Beispielaufgabe:

Berechnen Sie in der multiplikativen Gruppe F Sternchen 17 (leider habe ich es mit LaTeX-Ausdrücken an dieser Stelle nicht hinbekommen) die zyklischen Untergruppen:

<2>
<3>
<5>
<7>

Ich habe wirklich große Verständnisprobleme, obwohl das so leicht sein soll.

Was mich etwas weitergebracht hat war Wikipedia mit folgender Aussage:

<a>:={an|n∈ℤ}.

Heißt das, dass für jedes Element der zyklischen Untergruppe das Produkt aus der Multiplikation der Basis a mit dem Exponent n nicht größer als die multiplikative Gruppe F⋅17 sein darf?

Leider habe ich dazu Widersprüche gehabt oder ich habe es falsch angewendet.

Ich würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand das leicht verständlich erklären kann. Bisher hat es jeder andere aus meinem Studiengang begriffen und dann kann es ja wirklich nicht so schwer sein. Ich stehe vermutlich extrem auf dem Schlauch.

Vielen Dank für eure Mühe und noch ein schönes Wochenende!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

16:05 Uhr, 31.01.2015

Antworten
Hallo,

schau doch bitte mal, was du da kopiert hast, Ich kann das nicht lesen.

Grundsätzlich ist ein zyklische Gruppe (G,*) eine solche, die einen Erzeuger g∈G hat, für die also 〈g〉=G (natürlich bzgl. "*") gilt.

So ist tatsächlich (ℤ,+) zyklisch, da 1 ein Erzeuger ist, d.h. 〈1〉=ℤ gilt. (Ja, -1 wäre auch ein Erzeuger. Dies sind die beiden einzigen.)

Endliche Gruppen können, müssen aber nicht zyklisch sein:
(ℤ2×ℤ3,+) ist zyklisch ((1,1) wäre ein Erzeuger, überzeuge dich davon).

(ℤ2×ℤ2,+) ist es wiederum nicht. Überzeuge dich ruhig davon, dass keines der Elemente dieser Gruppe die ganze Gruppe erzeugt.

> Heißt das, dass für jedes Element der zyklischen Untergruppe das Produkt aus der Multiplikation der Basis a mit
> dem Exponent n nicht größer als die multiplikative Gruppe F⋅17 sein darf?

Hm, allein die Unterschiede der Kategorien von Element ("Produkt aus der Multiplikation"...) und Gruppe ("multiplikative Gruppe"...) scheint nur ein "Nein" als Antwort zuzulassen.
Es ist für mich auch nicht zu erraten, was du gemeint haben könntest.

Mfg Michael
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.