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Wie funktioniert die Produktregel mit 3 Faktoren?

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Exponentialfunktion, Faktor, Ganzrationale Funktionen, Produktregel

delia95 aktiv_icon

14:33 Uhr, 20.10.2011

Hallo :-)

Eine neue Achterbahn wird so geplant, dass nach einer Auffahrt eine steile Abfahrt folgt. Der zugehörige Graph wird modellhaft durch die Funktion

f_{t}

mit

f_{t} (x) = 100 t^{2} \cdot x^{2} \cdot e^{- t \cdot x}

beschrieben. Hierbei starten die Wagen bei

x = 0

f_{t} (x)

ist die Höhe in Metern der Bahn im Abstand

x

vom Start.

a)

Berechnen Sie den stelsten Anstieg und den steilsten Abfall der Bahn in Abhängigkeit von

t

. Wie groß ist der steilste Anstieg und der steilste Abfall für

t = 0,1

?

Hierfür brache ich ja die Ableitung von

f_{t} (x),

wir hatten aber nur die Produktregel für 2 Faktoren... wie macht man das also? Welche Formel benutze ich dafür?

Lösungsansatz:

u (x) = 100 t^{2}

u' (x) = 200 t

v (x) = x^{2}

v' (x) = 2 x

w (x) = e^{- t \cdot x}

w' (x) =

?

Also was ist die Ableitung von

w (x)

und vor allem wie mache ich weiter?

LG und danke!

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funke_61 aktiv_icon

14:35 Uhr, 20.10.2011

Dein

u (x) = 100 t^{2}

ist nicht von

x

abhängig und deshalb musst Du es in der Ableitung nach

x

wie eine Konstante behandeln.
wenn Du es so wie Du geschrieben hast nach

t

ableiten würdest, machst Du einen Fehler.

Sams83 aktiv_icon

14:37 Uhr, 20.10.2011

Hallo,

du musst ja nach

x

ableiten, um den steilsten Anstieg/Abfall herauszufinden.

t

ist hierbei einfach eine Konstante. Der Faktor

100 t^{2}

ist also ebenfalls konstant und braucht für die Produktregel nicht weiter beachtet werden, sondern bleibt einfach als konstanter Faktor stehen.

Ok?

funke_61 aktiv_icon

14:41 Uhr, 20.10.2011

w (x) = e^{- t x}

hier verwendest Du einfach zusätzlich die Kettenregel

Zur Kontrolle:

w' (x) = - t \cdot e^{- t x}

delia95 aktiv_icon

14:45 Uhr, 20.10.2011

also ist

u (x) = 100 x^{2}

und

u' (x) = 0

wie geh ich jetzt weiter vor?

funke_61 aktiv_icon

14:51 Uhr, 20.10.2011

nein.
Betrachte bitte

100 t^{2}

wie eine "Konstante Zahl" vor einer Funktion. Eine "Konstante Zahl" wird beim Ableiten ja auch einfach nur "abgeschrieben"
Beispiel "Konstante Zahl" 3:

g (x) = 3 \cdot e^{- 2 x}

g' (x) = 3 \cdot e^{- 2 x} \cdot (- 2) = - 6 \cdot e^{- 2 x}

Deine Funktion heisst:

f_{t} (x) = 100 t^{2} \cdot (x^{2} \cdot e^{- t x})

Beim Ableiten betrachtest Du jetzt nur das Produkt

x^{2} \cdot e^{- t \cdot x}

Dazu benutzt Du die Produktregel, wie Du sie kennst und musst dabei nur daran denken, dass man bei der Ableitung von

e^{- t \cdot x}

zusätzlich (wie ich oben geschrieben habe) die Kettenregel braucht.

delia95 aktiv_icon

15:07 Uhr, 20.10.2011

Also wäre das dann:

u (x) = 100 t^{2} x^{2}

u' (x) = 200 t^{2} x

v (x) = e^{- t \cdot x}

v' (x) = - t \cdot e^{- t \cdot x}

funke_61 aktiv_icon

15:13 Uhr, 20.10.2011

stimmt :-)
und jetzt alles verwenden um

{f'}_{t} (x)

aufzustellen.

delia95 aktiv_icon

18:25 Uhr, 20.10.2011

ok, danke schon mal,

ich habe jetzt:

f' (x) = e^{- t \cdot x} \cdot (200 t^{2} \cdot x - 100 t^{3} \cdot x^{2})

f'' (x) = 100 t^{2} \cdot e^{- t \cdot x} \cdot (t^{2} \cdot x^{2} - 4 \cdot t \cdot x + 2)

um den steilsten Anstieg bzw. Abfall harauszubekommen muss ich doch jetzt

f'' (x) = 0

setzten oder? also die notw. Bedingung

da kommt dann bei mir aber heraus:

x = \frac{- (\sqrt{2} - 2)}{t}

oder

x = \frac{\sqrt{2} + 2}{t}

passt das??

oder muss man die hoch und tiefpunkte der ersten ableitung ausrechnen?

Sams83 aktiv_icon

18:50 Uhr, 20.10.2011

Alles richtig bis hierhin. Kann keinen Fehler entdecken, und es ist auch richtig, dass Du die zweite Ableitung verwendet hast zur Bestimmung des steilsten Anstiegs/Abfalls.

Habe es selber auch nochmal nachgerechnet und komme ebenfalls auf

x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{t}

delia95 aktiv_icon

19:00 Uhr, 20.10.2011

was muss ich jetzt machen?

Sams83 aktiv_icon

19:05 Uhr, 20.10.2011

Gesucht ist ja der Wert des Anstiegs/Abfalls, also der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle.

Einfach Dein

x

und

t = 0,1

in die erste Ableitung einsetzen und berechnen.

Logisch, oder?

delia95 aktiv_icon

19:15 Uhr, 20.10.2011

wieso muss das in die erste Ableitung?

Sams83 aktiv_icon

19:22 Uhr, 20.10.2011

Die Frage ist doch nach dem Wert des Anstiegs/Abfalls. Also, wie groß der Anstieg/Abfall ist.

Die Funktion an sich beschreibt die jeweilige Höhe, entspricht also dem Verlauf der Achterbahn (wenn man mal Kurven und so vernachlässigt).

Die erste Ableitung beschreibt die Steigung in jedem Punkt, also jeweils den Anstieg/Abfall. Mit der zweiten Ableitung hast Du die Position von Maximum und Minimum dieser Anstiegsfunktion bestimmt. Da hier aber nun nach dem Wert für den Anstieg gefragt ist, musst Du den x-Wert in die Anstiegsfunktion, also die erste Ableitung einsetzen. Wäre nach der Höhe der Achterbahn zu diesem Zeitpunkt gefragt, müsstest Du Dein

x

in die Ursprungsfunktion einsetzen.

Nun klarer?

Sams83 aktiv_icon

19:28 Uhr, 20.10.2011

Ach so, Du sollst es übrigens zuerst allgemein für

t

ausrechnen, und dann erst im zweiten Schritt

t = 0,1

einsetzen.

Für

x = \frac{2 + \sqrt{2}}{t}

komme ich auf:

f' (\frac{2 + \sqrt{2}}{t}) = - 100 \cdot t \cdot e^{- (2 + \sqrt{2})} \cdot (2 + 2 \cdot \sqrt{2})

rosymosy aktiv_icon

19:07 Uhr, 15.11.2011

hallo
ich hab mir deine aufgabe mal angeschaut ..koenntest du mir bitte sagen aus welchem buch die aufgabe ist
weil wir im moment aehnliche aufgaben machen..moechte gerne wissen ,damit ich es mir kaufen kann

vielen dank

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