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Wie funktioniert Trassierung???(Bedingung etc)

Schüler Gymnasium,

Tags: Bedingungen aufstellen, Differantialrechnung, knickfrei, LGS, ruckfrei, Trassierung

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ToRe23

ToRe23 aktiv_icon

15:28 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Hallo liebe Leute!
Ich brauche ganz dringend Hilfe bei 2 Aufgaben..
Es geht um Trassierungen.

Die Aufgabe lautet:
Wie lauten Funktionsgleichungen geeigneter Funktionsgraphen, die den Verlauf des Verbindungskanals zwischen A und $B$ beschreiben?

Ich bin verzweifelt und weiß nicht mehr weiter und ob mein Lösungsansatz überhaupt richtig ist...

Danke im Voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Atlantik

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15:45 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Für das Parabelstück gilt $f_{a, b} (x) = a \cdot x^{2} + b$

$P (2 | 0) :$

$f_{a, b} (2) = a \cdot 2^{2} + b$

$1 .) 4 a + b = 0$

$f_{a}$ ´ $(x) = 2 a x$

Steigung in $P$ ist $- 2$

$f_{a}$ ´ $(2) = 2 a \cdot 2$

$2 .) 4 a = - 2$

Nun kannst du a und $b$ bestimmen.

mfG

Atlantik

ToRe23

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16:06 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Vielen Dank, für die schnelle Antwort!
Meine Funktion soll ja aber 4. Grades sein $\frac{:}{}$

Antwort

Atlantik

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16:09 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Warum 4. Grades?

In der Aufgabe heißt es, dass ein Verbindungsgraph gefunden werden soll. Das könnte auch das Teilstück eines Kreises sein.

mfG

Atlantik

$Z e i c h n u n g :$

ToRe23

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16:12 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Ich hab es nicht deutlich geschrieben, sry!
ich hab meine Aufgabe als Bild hochgeladen.

Mfg

Antwort

Atlantik

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16:26 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Wenn es eine Parabel 4.Grades sein soll:

$f_{a, b} (x) = a \cdot x^{4} + b$

$P (2 | 0)$

$f_{a, b} (x) = a \cdot 2^{4} + b$

$1 .) 16 a + b = 0$

$f_{a, b}$ ´ $(x) = 4 a x^{3}$

$m$ bei $P (2 | 0) = - 2$

$2 .) 4 a {(2)}^{3} = - 2$

$. .$ .

mfG

Atlantik

(verbessert)

ToRe23

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16:49 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Kann man das auch mit dieser Funktion rechnen: $v (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{2} + c$ ???

So hatte ich es angefangen und komme nicht weiter.

Die Bedingungen sind doch aber so richtig oder? :

$f (x) = v (x)$

$f' (x) = v' (x)$

$f'' (x) = v'' (x)$

$g (x) = v (x)$

$g' (x) = v' (x)$

$g'' (x) = v'' (x)$

Um meine Funktionsgleichung $v (x)$ rauzubekommen, muss ich da mit $f (x)$ Und $g (x)$ rechnen oder reicht es, wenn ich es nur mit einer mache???

mfg

Antwort

Ma-Ma

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20:44 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Dein Ansatz geht schon in die richtige Richtung.

Allgemeine Funktionsgleichung 4. Grades ?
Allgemeine Funktionsgleichung 4. Grades (Achsensymmetrisch zur y-Achse) ? Hast Du.

Wir haben jetzt nur noch 3 Variablen und brauchen somit nur noch 3 Bedingungen und können uns auf die rechte Seite beschränken.

I) Punkt betrachten $...$ . $v (2) = 0$
II) Steigung betrachten (Knickfreiheit) $...$ .
III) Krümmung betrachten (Ruckfreiheit = Wendepunkt im Anschschlußpunkt) $...$ .

So, jetzt vervollständige bite die Bedingungen.

I) $v (2) = 0$
II) $. .$ .
III) $...$ .

ToRe23

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20:56 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Erstmal vielen Dank für die Antwort!

Also ich glaube Sie meinen das, was ich als Bild hochgeladen hab..

da hatte ich geschrieben:

für Graph $f :$

$0 = v (- 2)$
$2 = v' (- 2)$
$0 = v'' (- 2)$

für Graph $g :$

$0 = v (2)$
$- 2 = v' (2)$
$0 = v'' (2)$

Sry, aber ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch und komme nicht weiter..

mfg

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

21:02 Uhr, 18.06.2014

Antworten

JA, Dein Ansatz ist richtig. (Nur viel zu viel $...)$

Da wir aber nur (wegen der Symmetrie) 3 Variablen haben, benötigen wir auch nur 3 Bedingungen und somit 3 Gleichungen!

I) $v (2) = 0$
II) $v' (2) = - 2$
III) $v'' (2) = 0$

Daraus entstehen 3 Gleichungen.

I) $0 = 16 a + 4 b + c$
II) $- 2 = ...$ .
III) $0 = . .$ .

ToRe23

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21:10 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Ah, ok!

also:

$0 = 16 a + 4 b + c$

$- 2 = 32 a + 4 b$

$0 = 48 a + 2 b$

und daraus ein LGS machen??? Rechne dann also $a, b$ und $c$ aus und gebe das in meine Funktion 4. Grades?

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

21:14 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Ja.

Antwort

Ma-Ma

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21:23 Uhr, 18.06.2014

Antworten

So sollte der gesuchte Graph aussehen $. .$ .

graph

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

21:48 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Was hast Du raus ?

ToRe23

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22:01 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Ich hab es!

Vielen vielen Dank!!!!!!! $:)$

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

22:05 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Das freut mich !

Bitte immer beachten: Anzahl der Variablen $\to$ Anzahl Bedingungen $\to$ Anzahl der Gleichungen!

LG Ma-Ma

$- - - - - - - - - - - - - -$
Noch Fragen zum nächsten Aufgabenteil $\to$ e-Funktion ?

ToRe23

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23:15 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Das wäre sehr lieb!

Ich werde morgen meine Ansätze posten.

Vielen vielen Dank!

LG

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

23:19 Uhr, 18.06.2014

Antworten

@Janina/Tobias:
Bitte unterlasse es, in mehreren Mathe-Foren gleichzeitig identische Aufgaben zu posten!
Crosspostings sind unerwünscht! Es machen sich mehrere Personen die Arbeit, Dir etwas zu erklären und das völlig umsonst, da woanders Deine FRage bereits gelöst wurde.

ToRe23

ToRe23 aktiv_icon

23:23 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Das tut uns leid und war uns nicht klar!
Wir arbeiten beide an dieser Aufgabe und ich (Janina), war heute sehr sehr verzweifelt und habe diese Aufgabe in mehreren Foren gepostet..
Ich hab das selbstverständlich nicht mit Absicht gemacht, aber in meiner Verzweiflung hab ich nicht nachgedacht!
Tut mir leid!

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

23:33 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Okay, Entschuldigung angenommen $. .$ .

Als Vorbereitung für morgen (Symmetrie) schlägst Du in Deiner Formelsammlung nach:
$\to$ Funktionen $\to$ gerade Funktionen $\to f (x) = f (- x)$

Finde diese Aussage in Deiner Formelsammlung (nicht im Internet!).

Mit diesem Ansatz können wir morgen die nächste Teilaufgabe in Angriff nehmen!
LG Ma-Ma

ToRe23

ToRe23 aktiv_icon

23:51 Uhr, 18.06.2014

Antworten

Okay, werde ich machen!

Vielen lieben Dank!

LG

ToRe23

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13:21 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Hallöchen, da bin ich wieder..

Zur Achsensymetrie habe ich jetzt herausgefunden, dass egal welche Zahl ich positiv und negativ für das $x$ im Exponenten einsetze, immer die selbe Lösung herauskommt, was mir zeigt oder beweist, dass eine Achsensymetrie vorliegt.

Ein paar Ansätze hab ich auch schon, nur bin ich mir nicht sicher ob die so richtig sind..

$z (x) = a \cdot e^{- b} \cdot x^{2} + c$

$z' (x) = a \cdot e^{- b} \cdot x^{2} \cdot (- 2 b \cdot x)$

$z'' (x) = a \cdot e^{- b} \cdot x^{2} \cdot (- 2 b \cdot x) \cdot (- 2 b \cdot x) + a \cdot e^{- b} \cdot x^{2} \cdot (- 2 b)$
$z'' (x) = a \cdot e^{- b} \cdot x^{2} \cdot 4 b^{2} \cdot x^{2} + a \cdot e^{- b} \cdot x^{2} \cdot (- 2 b)$
$z'' (x) = a \cdot e^{- b} \cdot x^{2} (4 b^{2} \cdot x^{2} + (- 2 b))$

SvNP:
$0 = a \cdot e^{- b} \cdot x^{2} (4 b^{2} \cdot x^{2} + (- 2 b))$
$0 = a \cdot e^{- b} \cdot x^{2} | ln$
$\Rightarrow$ keine Lösung

$0 = 4 b^{2} \cdot x^{2} + (- 2 b)$

für Graph $f :$
$0 = a \cdot e^{- b} \cdot {(- 2)}^{2} + c$
$0 = a \cdot e^{- 4} b + c$

$2 = a \cdot e^{- b} \cdot {(- 2)}^{2} \cdot (- 2 b \cdot (- 2))$
$2 = a \cdot e^{- 4} b \cdot 4 b$

$0 = 4 b^{2} \cdot {(- 2)}^{2} + (- 2 b)$
$0 = 8 b^{2} + (- 2 b)$

Ich weiß nicht ob das jetzt richtig ist und komme auch nicht weiter... $: ($

LG

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

13:44 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Ganz kurz nur. (Bin erst ca. gegen $17$ Uhr wieder online.)

"Zur Achsensymetrie habe ich jetzt herausgefunden, dass egal welche Zahl ich positiv und negativ für das $x$ im Exponenten einsetze, immer die selbe Lösung herauskommt, was mir zeigt oder beweist, dass eine Achsensymetrie vorliegt."

$\to$ Unsinn. Nur weil beim Probieren ein paar Werte gleich sind, muss keine Achsensymmetrie vorliegen. Das ist kein Beweis für Achsensymmetrie.

Den rechnerischen Ansatz habe ich bereits um $23 : 33$ Uhr beschrieben.

Muss jetzt weg, bin wieder gegen $17$ Uhr online.
LG Ma-Ma

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

16:06 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Die Ableitungen sehen gut aus, musst nur noch die Exponenten in Klammern setzen, dann werden sie zusammen als Exponent angezeigt.

$- - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Nächster Schritt $\to$ STRUKTURIERT arbeiten !

Bedingungen aufstellen! 3 Variablen $\to 3$ Bedingungen $\to 3$ Gleichungen !

Bedingungen:(wie oben)
I) $z (2) = 0$
II) $z' (2) = - 2$
III) $z'' (2) = 0$

Gleichungen aufstellen:
I) $0 = a \cdot e^{- 4 b} + c$
II) $- 2 = - 4 a b \cdot e^{- 4 b}$ .....(hab´s ein wenig zusammengefasst)
III) $0 = a \cdot e^{- 4 b} \cdot (16 b^{2} - 2 b)$

Rechnungen:

III) SvNP passt.
Du musst natürlich noch den x-Wert aus der Bedingung einsetzen !

Es verbleibt bei mir
$0 = 16 b^{2} - 2 b$

Das sollte sich nach $b$ auflösen lassen $. .$ .

Wenn das erledigt, dann die Bedingung / Gleichung II) nutzen $. .$ .

LG Ma-Ma

ToRe23

ToRe23 aktiv_icon

16:33 Uhr, 19.06.2014

Antworten

hmm.. Also war das alles, was ich gerechnet hatte Müll?

Also ich hab jetzt die ganze Zeit darüber nachgedacht und im Buch nachgeschlagen, nur leider verstehe ich es immer noch nicht..

Ich weiß nicht wie ich beweisen kann, dass diese Funktion: $z (x) = a \cdot e^{- b} \cdot x^{2}$ achsensymmetrisch ist, bzw. wie ich es ausrechne.

ToRe23

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16:34 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Tut mir leid, ich hab die letzte Antwort zu spät gesehen..
Vielen Dank! Ich werde es jetzt nochmal versuchen! $:)$

LG

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

17:25 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Deine Ableitungen sind okay. Danach wird es wirr. Es ist einiges Richtige dabei, hatte nur keine Lust, die Aufgaben zu entwirren, was wozu gehört.
Deshalb mein Hinweis: Strukturiert vorgehen.
Das hilft Dir später auch, wenn Du die Aufgabenteile nochmal prüfen möchtest (wie $z . B$ . in einer Klausur).
Das mit der Achsensymmetrie machen wir dann zum Schluss.
LG Ma-Ma

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

20:59 Uhr, 19.06.2014

Antworten

$. .$ . und $. .$ . hast Du schon weitere Zwischenergebnisse ?

ToRe23

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21:23 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Also ich versuche es seit Stunden und komme mir langsam richtig blöd vor...

Meine weiteren Versuche:

bei $0 = 16 b^{2} - 2 b$ hab ich für $b \frac{1}{8}$ raus.. hab es mir kürzen gemacht, deswegen weiß ich nicht wie ich die Rechnung hier hinschreiben könnte..

wenn ich dann in meine II) die $\frac{1}{8}$ für $b$ einsetze, kommt das

$2 = a \cdot e^{- 4 \cdot \frac{1}{8}} \cdot 4 \cdot \frac{1}{8}$

$2 = 0,303 a | : 0,303$

$\frac{2000}{303} = a$

das sieht allerdings irgendwie blöd aus..

Wenn ich es in die II) von Ihnen einsetze, kommt das hier

$- 2 = - 4 a \cdot \frac{1}{8} \cdot e^{- 4 \cdot \frac{1}{8}}$

$- 2 = - 4 a \cdot 0,0758 | : 0,0758$

$- 26,39 = - 4 a | : (- 4)$

$- 6,5975 = a$

Antwort

Ma-Ma

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21:33 Uhr, 19.06.2014

Antworten

So, hab jetzt Zeit für Dich $. .$ .

$b = \frac{1}{8}$ ist richtig.

Das nächste schau ich mir gleich an. Moment bitte.

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

21:40 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Gleichung II)
Die Zahl für a sieht blöd aus, WEIL Du den TR benutzt hast und NICHT Deinen Kopf!

Ansatz passt!

$- 2 = - 4 a \cdot \frac{1}{8} \cdot e^{- 4 \cdot \frac{1}{8}} ... ... ...$ . Perfekt.

Nun kürze und rechne nur mit dem Kopf !
DAs $e$ wird NICHT als Zahl ausgerechnet !

Beachte auch die Potenzgesetze.
$e^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

Antwort

Ma-Ma

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21:53 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Übrigens, wenn Du nicht weiterkommst, so frage zeitnah und lass nicht so viele Stunden zwischendurch vergehen.

$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Nochmal zu Gleichung III)
$0 = 16 b^{2} - 2 b$

Wenn hier $x$ stehen würde, so würdest Du SvNP anwenden, hier steht nur eine andere Variable und die heisst $b . .$ .
$0 = b \cdot (16 b - 2)$

Erster Faktor ist $b,$ jedoch $b$ darf nicht NULL sein (siehe Definitionsbereich in der Aufgabenstellung).
Somit verbleibt der zweite Faktor. $0 = 16 b - 2 ...$ .
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

21:58 Uhr, 19.06.2014

Antworten

DA noch keine Rückmeldung zu Gleichung II), noch ein bissl Hilfe.
$- 2 = - 4 a \cdot \frac{1}{8} \cdot e^{- 4 \cdot \frac{1}{8}}$

Kürzen.
$- 2 = - \frac{a}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Mal $(- 1)$ .
$2 = \frac{a}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Mal 2.
$4 = a \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Potenzgesetze anwenden.
$4 = \frac{a}{\sqrt{e}}$

Mal $\sqrt{e} ... .$ .

$a = . .$ . ?

ToRe23

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22:01 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Ich muss zugeben, $e$ Funktionen sind meine absolute Schwäche...

und die Potenzgesetze verwirren mich sehr... $: ($
ich habe es versucht herauszufinden, wie ich jetzt weiterrechnen könnte, aber in meinem Kopf passiert leider nichts...

Antwort

Ma-Ma

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22:04 Uhr, 19.06.2014

Antworten

$4 = \frac{a}{\sqrt{e}}$

$a = 4 \sqrt{e}$

HAst Du meinen Rechenweg im letzten Post verstanden ?

$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$
Potenzgesetze siehe Formelsammlung:
$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
$- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -$

ToRe23

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22:08 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Ich bin gerade noch dabei darüber nachzudenken und versuche es nachzuvollziehen.

Vielen Dank aufjedenfall für die bereits investierte Zeit!!!

ToRe23

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22:09 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Ok danke, ich versuche es jetzt nochmal, aber bisher bekomme ich bei $c$ immer nur $- 4$ raus und das ist ja offensichtlich falsch...

Antwort

Ma-Ma

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22:18 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Gleichung I): Wieder ist kürzen und Kopfrechnen angesagt.

Bereits berechnet:
$a = 4 \sqrt{e}$ und $b = \frac{1}{8}$

I. Bedingung) $z (2) = 0 ... .$ . #Korrektur meinerseits

$0 = 4 \cdot \sqrt{e} \cdot e^{- \frac{1}{8} \cdot 4} + c$

Kürzen.
$0 = 4 \cdot \sqrt{e} \cdot e^{- \frac{1}{2}} + c$

$0 = 4 \cdot \sqrt{e} \cdot \frac{1}{\sqrt{e}} + c$

Die Wurzel kürzen.
$0 = 4 + c$

$c = - 4$

Passt doch wunderbar $...$ .

$- - - - - - - - - - - - -$
Ich schick Dir gleich mal ein Bild $. .$ . Moment.

Antwort

Ma-Ma

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22:19 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Schau mal, wie schön Dein Ergebnis aussieht:

heute

ToRe23

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22:20 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Also ist das richtig? Hmm, ich fand das Ergebnis irgendwie komisch. Danke auf jeden Fall noch einmal für die ganze Mühe!!!!!

Antwort

Ma-Ma

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22:21 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Noch dranbleiben, es gab noch das Thema Symmetrie ! Beweis!
Willst Du noch ?

ToRe23

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22:28 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Ja, das wäre super!

Antwort

Ma-Ma

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22:34 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Da Du noch online bist, nehme ich an, dass das JA heisst.

Wichtig mein Post von gestern $23 : 33$ .
Unbedingt die Formel suchen, Du wirst sie noch öfter brauchen!

Gerade Funktionen, Symmetrie zu y-Achse.
$f (x) = f (- x)$

Wir haben $z (x) = a \cdot e^{- b \cdot x^{2}} + c$ .
Symmetrie, wenn gilt $z (x) = z (- x)$

Nun wird auf der rechten Seite statt $x$ das $(- x)$ eingesetzt.

$z (x) = z (- x)$
$a \cdot e^{- b \cdot x^{2}} + c = a \cdot e^{- b \cdot {(- x)}^{2} + c}$

Jetzt ${(- x)}^{2}$ auflösen. ${(- x)}^{2} = x^{2}$

$a \cdot e^{- b \cdot x^{2}} + c = a \cdot e^{- b \cdot x^{2}} + c$
Das war´s.

(Und nix mit irgendwelchen Testzahlen und probieren, ob es zufällig stimmt $...)$

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

22:37 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Jetzt mein letzter Rat an Dich: Potenzgesetze beherrschen ist ein MUSS für einen Abiturienten! Wenn Du das nicht übst, so sieht es schlecht im Abi aus und dunkelduster im Studium!
LG Ma-Ma

ToRe23

ToRe23 aktiv_icon

22:38 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Super, das hab ich jetzt verstanden!!!

Vielen vielen Danke für die ganze Mühe!!!
Das war meine Rettung! $:)$

Antwort

Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

22:40 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Bitte, bitte $. .$ . und das nächste Mal ZEITNAH antworten und nicht erst Stunden später $. .$ .
Grüße auch an Janina.

ToRe23

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22:42 Uhr, 19.06.2014

Antworten

Alles klar!
War mir nur irgendwie unangenehm so häufig zu fragen..

Lieben Dank! $:)$

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