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Wie funktioniert hier die Substitution ?

Schüler Gymnasium,

Tags: Substitution, Summen

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22:43 Uhr, 04.11.2019

Hallo,
Ich habe gerade angefangen ein dokument zur relativitätstheorie zu lesen,
relativ unabhängig davon wird folgender Schritt gemacht.

s^{2} = Δ x_{1}^{2} + Δ x_{2}^{2} + Δ x_{3}^{2} (1)

\sum {Δ x_{ν}}^{2} = c o n s t . (2)

\sum {Δ {x ʹ}_{ν}}^{2} = c o n s t . (2 a)

How must the

{x ʹ}_{ν}

be expressed in terms of the

x_{ν}

in order
that equations

(2)

and

(2 a)

may be equivalent to each
other? Regarding the

{x ʹ}_{ν}

expressed as functions of the

x_{ν}

,
we can write, by Taylor's theorem, for small values of
the

{Δ x}_{ν}

{Δ x ʹ}_{ν} = \sum_{α} \frac{\partial {x ʹ}_{ν}}{\partial x_{α}} Δ x_{α} + \frac{1}{2} \sum_{α, β} \frac{\partial^{2} {x ʹ}_{ν}}{\partial x_{α} \partial x_{β}} Δ x_{α} Δ x_{β} \dots

If we substitute

(2 a)

in this equation and compare with

(1)

,
we see that the

{x ʹ}_{ν}

must be linear functions of the

x_{ν}

.
If we therefore put

{x ʹ}_{ν} = a_{ν} + \sum_{α} b_{ν α} x_{α}

{Δ x ʹ}_{ν} = \sum_{α} b_{ν α} Δ x_{α}

Ich verstehe nicht ganz wie ich hier zu substituieren habe.
Demzufolge ist mir natürlich auch der nächste Schritt nicht klar.

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen bzw. erklären könnte, wie das funktioniert.

Nikolaij Neitzel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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anonymous

10:17 Uhr, 05.11.2019

Hallo
Dieses "to substitute" dürfte hier weniger eine 'Substitution' im mathematischen Sinne meinen, als viel mehr ein Einsetzen der einen Gleichung in die andere.
Grundsätzlich wurde einfach festgestellt, dass für kleine Größen

Δ x

die Quadrate und höheren Potenzen physikalisch vernachlässigbar werden, und nur die linearen Anteile genutzt.

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