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Wie geht die Probe der Inversen bei 2x2 Matrix?

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Determinante, Einheitsmatrix, invers, Matrizenrechnung

Nutrisse aktiv_icon

11:57 Uhr, 23.11.2015

Hallo,

Gegeben ist die

2 x 2

Matrix
1 xy
y² 0
Die Determinante wäre hier ja:

1 \cdot 0 -

y²*xy

\to

also xy³

Wie mache ich nun weiter?
Ich weiß, dass die Inverse

\cdot

die Normale = die Einheitsmatrix gilt.
Aber wenn folgendes versuche:

1 -

| 1 - 0

y²

- 0 \cdot | 0 - 1

Ohne den Punkt nach der 0 und die - sollen kein Minus sein sondern nur eine Trennung von den Zahlen, ich weiß nämlich nicht wie das sonst geht.

Also die Normale auf die Einheitsmatrix zu bringen funktioniert das bei mir nicht.
Ich weiß nicht wie man aus der Normalen mit 2 Unbekannten die Inverse macht.
Wenn ich die erste Zeile

z . B

. mal -y² nehme kommt am Ende wieder nicht die Einheitsmatrix raus.

Wie bekomme ich die Inverse?
Und wie macht man die Probe?

\to

Wäre die Probe, dass ich

A \cdot A^{- 1}

nehme und schaue, ob die Einheitsmatrix raus kommt?

Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!

Edddi aktiv_icon

12:21 Uhr, 23.11.2015

A \cdot A^{- 1} = E

(\begin{matrix} 1 & x \cdot y \\ y^{2} & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} a + x \cdot y \cdot c & b + x \cdot y \cdot d \\ a \cdot y^{2} & b \cdot y^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Es ergibt sich sofort:

a \cdot y^{2} = 0 \Rightarrow a = 0

und

b \cdot y^{2} = 1 \Rightarrow b = \frac{1}{y^{2}}

Aus den oberen beiden Gleichungen mittels einsetzen ergibt sich dann:

a + x \cdot y \cdot c = 1 \Rightarrow x \cdot y \cdot c = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{x \cdot y}

b + x \cdot y \cdot d = 0 \Rightarrow \frac{1}{y^{2}} + x \cdot y \cdot d = 0 \Rightarrow d = - \frac{1}{x \cdot y^{3}}

Somit:

A^{- 1} = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & \frac{1}{y^{2}} \\ \frac{1}{x \cdot y} & - \frac{1}{x \cdot y^{3}} \end{matrix})

;-)

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