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Wie inversiere ich eine Matrix mit einer Variablen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Inversieren, matriz, Matrizeninversieren

braxcheHxlfe123 aktiv_icon

19:57 Uhr, 29.08.2018

Hallo Freunde,
ich brauche Hilfe bei diesen beiden Aufgaben.
Sie sind sehr ähnlich und ich würde gerne das Prinzip verstehen.
Ich stehe total auf dem Schlauch

: (

Vielen Dank schon mal im voraus :-)

Hier die Aufgabe:

Bestimmen sie die Inverse von A.

1)

(\begin{matrix} x & 1 \\ 1 & x \end{matrix})

2)

(\begin{matrix} - 2 & 2 \\ 1 & x \end{matrix})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

20:09 Uhr, 29.08.2018

Wie würdest du denn die Inverse einer

2 \times 2

Matrix bestimmen, wenn keine Variable vorkommt.
ZB

{(\begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix})}^{- 1} =

P . S . :

Du suchst zwar die Inverse einer Matrix, aber diese bestimmt man, indem man die Matrix invertiert.

gilgamesch4711 aktiv_icon

01:26 Uhr, 30.08.2018

Es gibt so einen Witz

" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "

Aber was mache ich mit Schülern, die keine komplexen Zahlen können? Genau so hier; welche Routine hast du in Paulimatrizen? Da ich von der QM her komme, bin ich super fit in Paulimatrizen und sehe spontan Zusammenhaänge, von denen du nicht einmal etwas ahnst.
Wo kannst du etwas über die drei Paulimatrizen

S 1; 2; 3

lernen? Soll ich dir Literatur geben, oder reicht dir schon ein Schnupperkurs in Wiki?
Hast du schon mal von

\to

Eigenwerten gehört? Weil die Eigenwerte aller drei Paulimatrizen sind

\pm 1

für Spin up / down . Daraus ergibt sich aber unmittelbar

z . B

S 1

= 1 (1)

Ist dir der Gedankengang hinter

(1)

klar? Jetzt besorge dir mal aus Wiki die Darstellung von

S 1,

dann hat deine Matrix zu Aufg

1)

nämlich die Form

A_{x} := x \cdot 1! + S 1 (2 a)

mit

1! =

Einheitsmatrix . Ich führe jetzt die zu

A_{x}

" Pauli konjugierte " ein

A_{x}^{⋆} := x \cdot 1! - S 1 (2 b)

Was hier abgeht, ist nicht unähnlich den konjugiert komplexen Zahlen; du wirst noch lernen müssen, dass Paulimatrizen in der Tat Vektoroperatoren sind. Hier der Alte über den Wolken ist schon ganz schön pfiffig; gäbe es die praktischen Erfordernisse der QM nicht, wäre die Menschheit da niemals durch gestiegen.
Jetzt tust du

(2 a)

mit

(2 b)

multiplizieren nach Maßgabe der 3. binomischen unter Beachtung von

(1)

A_{x} A_{x}^{⋆} = x

\cdot 1! - S 1

= (x

- 1) \cdot 1! (3 a)

Wo wollen wir aber hin?

A_{x} A_{x}^{- 1} = 1! (3 b)

Vergleich von ( 3ab ) führt uns demnach auf

A_{x}^{- 1} = \frac{1}{x^{2} - 1} (x \cdot 1! - S 1) (4)

(4)

fällt uns auf, dass mein Verfahren nicht funktioniert, wenn der Nenner singulär wird. Weißt du auch schon, was eine Determinante ist? Weil der Nenner ist nichts anderes als die Determinante von

A_{x};

und Matrix

A_{x}

darf nie singulär werden.
Da er wieder mault

max

Zeichen, rechne ich das zweite Beispiel in einer Ergänzung.

gilgamesch4711 aktiv_icon

02:04 Uhr, 30.08.2018

Ich bin eben doch Gilgamersch der

\to

Wanderer ferner Wege. Meine ganzen Tricks hat es angeblich schon lange vor mir gegeben; nur weist kein Text die Studenten darauf hin, dass man das so machen kann - angefangen bei den Paulimatrizen, von denen ein Nichtphysiker nie etwas hört.
Bei deinem zweiten Beispiel greife ich auch ganz tief in die Trickkiste. Hand auf die hohle Heldenbrust; hast du je von der Säkulardeterminante ( SD ) gehört, dem Eigenwertpolynom? Weil Polynome können Schüler ja. Bloß was Matrixpolynome sind, dürfte für dich doch noch etwas anspruchsvoll sein .
Um überhaupt mal durchzusteigen, empfehle ich dir die AGULA Lehrbücher von Kowalsky oder Greub; da findest du exakte Beweise; und alle deine Fragen werden erschöpfend beantwortet. Ich bin aber auch für dich da.
In den Büchern ist das immer etwas umständlich erklärt. Für die SD mache ich einfach einen quadratischen Ansatz

p_{A; t} = t

- p t + q (2.1 a)

Und was ist

p

und q? Vieta das geschmähte Stiefkind; geh mal aus von den beiden Eigenwerten

E 1; 2

p = E 1 + E 2 =

(A) = x - 2 (2.1 b)

Hinge jetzt davon ab, ob du dich mit der Spur einer Matrix anfreunden könntest.
Und bei

q

kommt die Determinante ins Spiel .

q = E 1 E 2 = det (A) = - 2 (x + 1) (2.1 c)

p_{A; t} = t

+ (2 - x) t - 2 (x + 1) (2.2 a)

Jetzt müsstest du irgendwo nachvollziehen:

JEDE MATRIX LÖST IHRE EIGENE SD .

Setzen wir also für die Veränderliche

t

deine Matrix A ein in

(2.2 a)

p_{A; A} = A

+ (2 - x) A - 2 (x + 1) \cdot 1! | A^{- 1}

(2.2 b)

Ich tu also

(2.2 b)

mit der Inversen multiplizieren, damit wir endlich zu Potte kommen - erhat schon wieder

max

Zeichen.

gilgamesch4711 aktiv_icon

02:24 Uhr, 30.08.2018

Oh tschuldige, ich hatte zwei Schreibfehler . In ( 2.2ab ) muss natürlich rechts Null stehen.

p_{A; t} = t

+ (2 - x) t - 2 (x + 1) = 0 (2.2 a)

p_{A; A} = A

+ (2 - x) A - 2 (x + 1) \cdot 1! = 0 (2.2 b)

Jetzt wie angekündigt mit der Inversen multiplizieren

A + (2 - x) \cdot 1! - 2 (x + 1) A^{- 1} = 0 (3.1 a)

Jetzt umstellen nach

A^{- 1}

A^{- 1} = \frac{1}{2 (x + 1)} [A + (2 - x) \cdot 1!] (3.1 b)

abakus

06:14 Uhr, 30.08.2018

Mit den geringstmöglichen Vorkenntnissen:
Du suchst die Matrix

(\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array})

, für die

(\begin{array}{rcl} x & 1 \\ 1 & x \end{array})

(\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array})

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

gilt.
Ermittle also die 4 Zahlen a, b, c, d,
für die
ax+c=1
bx+d=0
a+cx=0
b+dx=1
gilt

abakus

18:24 Uhr, 31.08.2018

"Wir hatten das gleiche Problem."

Und was willst du jetzt damit sagen?

Roman-22

21:13 Uhr, 31.08.2018

>

Wir hatten das gleiche Problem.
?? Meinst du gilgamesch oder die Matrizeninversion.

Der OP, braxcheHxlfe123, hat ja offenbar kein Interesse mehr an dem Thread.
Ob er bloß keine Rückfragen beantworten möchte oder ob gilgamesch ihn abgeschreckt hat (der will ja nur spielen) wissen wir nicht.

Skrillex123 aktiv_icon

01:59 Uhr, 01.09.2018

Ich nehme an nach dem Vortrag wird er sich überlegen Mathe abzuwählen :-D)

gilgamesch4711 aktiv_icon

13:38 Uhr, 01.09.2018

Ehrlich gesagt - ich halte Promesse für einen Troll. Im Zusammenhangf mit einer Fragestellung der Elementarmatematik berichtete ich kurz von unserem Lehrer; und da sagte der auch

" Wir hatten das gleiche Problem. "

Solche Äußerungen lassen ja Regel mäßig Zweifel aufkommen, ob man es nicht doch mit einer Maschine zu tun hat

" Aus irgendeinem Grunde finde ich gerade Sie besonders interessant und würde Sie gerne kennen lernen

. .

. "

Roman-22

13:42 Uhr, 01.09.2018

>

Ehrlich gesagt - ich halte Promesse für einen Troll.
Natürlich ist Promese eine Troll!
Leider ist er/sie aber nicht der einzige Troll hier, aber wenigstens einer, der sich kurz fasst.

Skrillex123 aktiv_icon

14:23 Uhr, 01.09.2018

Ja stimmt ist mir auch schon aufgefallen, schreibt immer die gleichen paar zusammenhanglosen Sätze unter die neusten Themen.
Erreicht man bei euch im Forum irgendwas ab ner bestimmten Anzahl von Beiträgen?
Sieht mir eher nach sammeln von Beitägen aus.

abakus

14:33 Uhr, 01.09.2018

"Erreicht man bei euch im Forum irgendwas ab ner bestimmten Anzahl von Beiträgen?"

Ja, in manchen Fällen z.B. den berechtigten Unmut anderer User.

Matheboss aktiv_icon

12:24 Uhr, 02.09.2018

Die Anzahl der seltsamen Beiträge von Promese wurden reduziert!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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