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Wie ist die 1 Definiert ?

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

 
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Meeresgott

Meeresgott aktiv_icon

22:22 Uhr, 15.04.2019

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Hallo liebes Forum,

ich habe eine Frage, bezüglich der Zahlen und deren Ziffern.

Mir wurde gesagt, dass Zahlen/Ziffern eine Visualisierung von 'Gott gegeben Größen' ist. Quasi wenn du 3 Äpfel hast und 2 weitere Pflückst, dann hast du 5 Äpfel. Das wir diese bestimmte Anzahl "3", "2" und "5" nennen ist willkürlich gewählt und erfolgt keiner Definition.

Aber müsste es nicht Möglich sein, Ziffern zu definieren o.ä. ?

Gehe ich z.B. davon aus, dass noch nichts definiert ist - keine Addition keine Ziffern keine Zahlen usw. Dann habe ich ja nichts und im Mathematischen Sinne ist nichts die leere Menge.

Wenn ich nun hingehe und sage meine bisher überlegte Menge der Mathematik besteht aus der leeren Menge, dann kann ich so doch schon mal die 1 definieren. Frei noch dem Motto ich habe nichts aber nichts habe ich einmal in meiner Menge. Wie käme ich durch solche Definitionen auf die 2 ? Aufs Addieren Subtrahieren usw. ? Ist es Überhaupt möglich Ziffern zu definieren ?

Über Links, Schlagwörter oder direkte Hilfestellungen würde ich mich freuen !

Viele Grüße.

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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

22:28 Uhr, 15.04.2019

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Eine übliche "Definition" in der Mengenleere ist

0:=

n´:=n{n} als Nachfolger von n.

In dem Sinne ist dann

1={}={}

2={}{{}}={,{}}

3={,{}}{{,{}}}={,{},{,{}}}

usw.


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michaL

michaL aktiv_icon

22:29 Uhr, 15.04.2019

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Hallo,

zuerst schau dir von Neumanns mengenaxiomatische Definition[1] der natürlichen Zahlen an. Dort geht es im Wesentlichen so, wie du andeutest: 0:=, 1:={}, n+1:=n{n}
Dann folge dem Weg von Peano[2].

Mfg Michael

Weblinks:
[1] de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Von_Neumanns_Modell_der_nat%C3%BCrlichen_Zahlen
[2] de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome
Meeresgott

Meeresgott aktiv_icon

22:43 Uhr, 15.04.2019

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Hallo michaL,

nur um sicherzugehen, dass ich es richtig verstanden habe wiederhole ich erstmal deine Erklärung.

Da die Zahlen jede für sich definiert wird 0:=∅, 1:={∅}. Macht es keinen Unterschied für die Mathematik ob es eine Ziffer oder Zahl ist. Die Mathematik unterscheidet an dieser Stelle nicht.

Wenn ich nun 1 und 1 Addieren möchte suche ich nun den n. Nachfolger von 1- in meinem Fall bei 1+1. Wäre das der 1 Nachfolger der 1 und somit 2 bzw. {∅,{∅}}?

Da du in der Definition schon Addtion verwendest, denke ich, dass diese mit der Definition der Zahlen 'mit definiert' wird.

n+1:=n∪{n}

Habe ich das richtig verstanden ?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

12:10 Uhr, 17.04.2019

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Hallo
dir wurden doch die 2 Quellen angegeben, in denen genau das steht, warum fragst du dann noch? sind das Zweifel an wiki?
Gruß ledum
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