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Wie ist die Divergenz von (vec r / r)

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: divergenz, Gradient, Vektor, Vektorraum

grooc aktiv_icon

23:31 Uhr, 24.10.2013

Hallo,

Ich habe eine Frage zu der Bestimmung der Divergenz eines Vektors. Konkret ist die Aufgabe: Bestimmen Sie

1.

d i v (\frac{\vec{r}}{∣ r ∣})

oder
2.

d i v (r^{n} * \vec{r})

oder
3.

d i v (r

g r a d \frac{1}{r^{3}})

Die Aufgaben zielen alle in die gleiche Richtung wie ihr seht.

Ich verstehe aber schon nicht, warum folgendes stimmt:

d i v (\vec{r} * a) = a * \frac{\vec{r}}{∣ r ∣}

ich würde einfach nur

a

als Antwort annehmen.

Generell fehlt mir ein Ansatz zur Lösung dieser Aufgaben. Könntet ihr mir den Weg weisen?

Danke, Jens

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

DerDepp aktiv_icon

11:41 Uhr, 25.10.2013

Hossa ;-)

Beide Lösungen für

div (a \vec{r})

sind falsch. Richtig ist:

div (a \cdot \vec{r}) = div (\begin{array}{c} a x \\ a y \\ a z \end{array}) = \frac{\partial}{\partial x} (a x) + \frac{\partial}{\partial y} (a y) + \frac{\partial}{\partial z} (a z) = a + a + a = 3 a

Die anderen Aufgaben kannst du analog duch Ableiten lösen, wenn du

r = ∣ \vec{r} ∣ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

setzt.

Ok?

grooc aktiv_icon

13:44 Uhr, 25.10.2013

Hallo, vielen Dank für die Hilfe hatte noch einen weiteres Hinweis bekommen. Jetzt kann ich die anderen Aufgaben auch lösen. Hier Beispielhaft Aufgabe 3:

d i v (r

g r a d \frac{1}{r^{3}})

vorerst ermittelt man

g r a d \frac{1}{r^{3}} = g r a d \frac{1}{(\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})^{3}} = g r a d (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{\frac{- 3}{2}} = A

daraus wird dann:

\frac{d}{d x} A + \frac{d}{d y} A + \frac{d}{d z} A = \frac{- 3 * 2 (x \vec{e_{x}} + y \vec{e_{y}} + z \vec{e_{z}})}{2 * ∣ r ∣^{\frac{5}{2}}} = \frac{- 3 \vec{r}}{∣ r ∣^{4} * ∣ r ∣} = \frac{- 3}{∣ r ∣^{4}} * \vec{e_{r}}

nun zur Divergenz:

d i v (r

\frac{- 3}{∣ r ∣^{4}} * \vec{e_{r}}) = d i v (\frac{- 3}{∣ r ∣^{3}} * \frac{\vec{r}}{∣ r ∣}) = d i v (\frac{- 3 \vec{r}}{∣ r ∣^{4}}) = d i v (\frac{- 3 * (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array})}{(\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})^{4}}) = B

Ableitung über Quotientenregel! - Verkettung

\frac{d}{d x} B + \frac{d}{d z} B + \frac{d}{d z} B = \frac{- 3 * (∣ r ∣^{2} - 4 x^{2} + ∣ r ∣^{2} - 4 y^{2} + ∣ r ∣^{2} - 4 z^{2})}{∣ r ∣^{6}} = \frac{- 3 * (3 * ∣ r ∣^{2} - 4 * (x^{2} + y^{2} + z^{2}))}{∣ r ∣^{6}}

= \frac{- 3 * (3 * ∣ r ∣^{2} - 4 * ∣ r ∣^{2})}{∣ r ∣^{6}} = \frac{- 3 * (3 - 4)}{∣ r ∣^{4}} = \frac{3}{∣ r ∣^{4}}

Was für ein Akt!

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