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Wie kann ich die Abbildungsvorschrift bestimmen?

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Tags: Abbildungsvorschrift, Basen, Funktion, Linear

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javamonki

javamonki aktiv_icon

17:56 Uhr, 09.12.2021

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In der Aufgabe sind 2 Basen des Raums der Polynome mit dem Grad<=1 = ax+b gegeben.

B 1 = {x + 2,1},

B 2 = {- 2 x + 1, x + 5}

Weiterhin sei die lineare Abbildung von

R [x] \leq 1 \to R [x] \leq 1

durch folgende Bilder gegeben:

f (x + 2) = - 2 x + 1

und

f (1) = x + 5

Meine Frage ist jetzt, wie ich die Abbildungsvorschrift bestimmen kann. Hätte ich wenigstens das Bild der Standardbasen des

R [x] \leq 1,

könnte ich ja die Abbildungsvorschrift mit der Eigenschaft der Linearität bestimmen, aber so weiß ich nicht ganz, was der Ansatz wäre.
Danke für eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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ledum

ledum aktiv_icon

22:23 Uhr, 09.12.2021

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Hallo
linear ist die

A

die die eine Basis auf die andere abbildet doch sowieso? also kannst du die Linearität benutzen.
grüß ledum

javamonki

javamonki aktiv_icon

13:56 Uhr, 10.12.2021

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Hallo, danke für Deine Antwort. Meinst du die Darstellungsmatrix? Wie kann ich durch Sie die Abbildungsvorschrift bestimmen?

Antwort

Randolph Esser

Randolph Esser aktiv_icon

21:38 Uhr, 11.09.2023

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Na ja,

z . B

. kann man

f

bezüglich der oben genannten Basis

B_{1} = : (b_{1}, b_{2})

als

A : R^{2} \to R^{2}, v \mapsto A v

mit

A := (\begin{matrix} - 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix})

darstellen,

denn es gilt

x + 1 = 1 \cdot b_{1} + 0 \cdot b_{2}

sowie

1 = 0 \cdot b_{1} + 1 \cdot b_{2},

weiter

A \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \end{matrix})

und

A \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})

und

- 2 \cdot b_{1} + 5 \cdot b_{2} = - 2 \cdot x + 1

und

1 \cdot b_{1} + 3 \cdot b_{2} = x + 5

.

Wählt man die Standardbasis

(x, 1)

von

R [x]

mit Grad

\leq 1,

ergibt sich analog, dass A durch

A \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix}), A \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix})

bestimmt ist und man findet leicht

A := (\begin{matrix} - 4 & 1 \\ - 9 & 5 \end{matrix})

.

Damit kann man nun

f (a \cdot x + b) := (- 4 \cdot a + b) \cdot x - 9 \cdot a + 5 \cdot b

für alle

a, b \in R

definieren, falls das das Objekt der Begierde ist...

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