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Wie kann ich die folgende Behauptungen beweisen?!

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Master9362

Master9362 aktiv_icon

20:46 Uhr, 04.07.2020

Antworten

Es sei

K

ein Körper, und es seien

U, V, W

K-Vektorräume. Wie zeige ich:

(1)

Es gibt genau eine lineare Abbildung

H o m_{K} (U

⊗

V, W)

→

H o m_{K} (U, H o m_{K} (V, W)) : ϕ \mapsto ϕ

#
so dass

ϕ

#

(u) (v) = ϕ (u

⊗

v)

gilt für alle

ϕ

∈

H o m_{K} (U

⊗

V, W), u

∈

U

und

v

∈

V

.

(2)

Die lineare Abbildung aus

(1)

ist ein Isomorphismus.

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

10:18 Uhr, 05.07.2020

Antworten

Hallo,

zu 1. musst du folgende Dinge zeigen:

a) Für jedes

u \in U

ist

φ^{#} (u) \in H o m_{K} (V, W)

,
also
a1)

φ^{#} (u) (v_{1} + v_{2}) = φ^{#} (u) (v_{1}) + φ^{#} (u) (v_{2})

für

v_{1}, v_{2} \in V

und
a2)

φ^{#} (u) (λ v) = λ φ^{#} (u) (v)

für

v \in V, λ \in K

.

Entsprechend zeige, dass
b)

φ^{#} : U \to H o m_{K} (V, W)

linear ist.

Schließlich zeige, dass
c)

φ \mapsto φ^{#}

linear ist.

Zu 2.:
für die Surjektivität verwende die universelle Eigenschaft
des Tensorproduktes. Für die Injektivität zeige,
dass

φ^{#} = 0 \Rightarrow φ = 0

gilt.

Gruß ermanus

Master9362

Master9362 aktiv_icon

11:55 Uhr, 05.07.2020

Antworten

Vielen Dank!
Meinen Sie, dass ich bei

b)

genauso wie bei

a)

zeigen ?

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

12:02 Uhr, 05.07.2020

Antworten

Ja.
Auch hier musst du
b1)

φ^{#} (u_{1} + u_{2}) = φ^{#} (u_{1}) + φ^{#} (u_{2})

und
b2)

φ^{#} (λ u) = λ φ^{#} (u)

zeigen.
Bedenke, dass es sich hier um die Gleichheit von Abbildungen handelt.
Wann sind zwei Abbildungen gleich ?

Master9362

Master9362 aktiv_icon

12:20 Uhr, 05.07.2020

Antworten

zwei Abbildungen sind gleich, wenn zum Beispiel

x_{1} = x_{2}

und

f (x_{1}) = f (x_{2}),

richtig?

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

12:24 Uhr, 05.07.2020

Antworten

Nein. Ich habe nicht danach gefragt, wann bei einer Abbildung
zwei gleiche Funktionswerte auftauchen.
Wann heißen die Abbildungen

f

und

g

gleich?

Master9362

Master9362 aktiv_icon

12:29 Uhr, 05.07.2020

Antworten

Das ist in unserem Skript

Anmerkung 2020-06-26 135501

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

12:36 Uhr, 05.07.2020

Antworten

Genau das meine ich :-)
Wenn du also

φ^{#} (u_{1} + u_{2}) = φ^{#} (u_{1}) + φ^{#} (u_{2})

zeigen willst, musst du dies "argumentweise" machen, d.h.
du musst

φ^{#} (u_{1} + u_{2}) (v) = (φ^{#} (u_{1}) + φ^{#} (u_{2})) (v)

für alle

v \in V

zeigen. Entsprechend für das

λ

-fache.

Master9362

Master9362 aktiv_icon

13:34 Uhr, 05.07.2020

Antworten

bei

2)

könnten Sie bitte noch mal erklären wie ich die universelle Eigenschaft
des Tensorproduktes verwenden soll?

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

13:46 Uhr, 05.07.2020

Antworten

Gern.
Sei

ψ \in H o m (U, H o m (V, W))

.
Dann ist

ψ (u) (v)

bilinear in

u, v

, d.h.

\hat{ψ} : U \times V \to W,

(u, v) \mapsto ψ (u) (v)

ist eine bilineare Abbildung.
Wegen der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts
gibt es dann genau eine lineare Abbildung

φ : U \otimes V \to W

mit

φ (u \otimes v) = \hat{ψ} (u, v)

.
Es ist also

φ^{#} = ψ

und damit ist

φ \mapsto φ^{#}

surjektiv.

Master9362

Master9362 aktiv_icon

14:00 Uhr, 05.07.2020

Antworten

Danke!

D . h

. für die Injektivität soll ich eine beliebige Abbildung, die gleich 0 ist, geben.

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

14:06 Uhr, 05.07.2020

Antworten

Injektivität ist gleichbedeutend dazu, dass der Kern der Abbildung

φ \mapsto φ^{#}

nur die Nullabblidung enthält.
Du musst also zeigen, dass aus

φ^{#} = 0

folgt, dass

φ = 0

, also die Nullabblidung ist.

Frage beantwortet

Master9362

Master9362 aktiv_icon

14:07 Uhr, 05.07.2020

Antworten

Vielen vielen Dank für die Hilfe!

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