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Wie kann ich diese Gleichung umformen?
Universität / Fachhochschule
Komplexe Zahlen
Tags: Gleichung umformen, Komplexe Zahlen
 
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Hallo, ich sitze seid einiger zeit an einer aufgabe in mathe. Ich muss eine gleichung lösen und anschließend in die form iy mit und bringen. ich habe die gleichung gelöst und sie sieht jetzt so aus: Der erste teil wäre dann mein also . Das problem ist ich muss irgendwie den hinteren teil so umformen, das ich term habe. Denn so ist das ja nicht real sondern komplex. weiß jemand wie ich das anstellen kann? oder ist die aufgabe so bereits gelöst? vielen dank. Die ursprüngliche Aufgabe sieht übrigens vollgendermaßen aus: Bestimmen Sie alle Lösungen in der folgenden Gleichungen. Geben Sie das Ergebnis jeweils in der Form ∈ an. ii. z^2+(1−5i)z−10−10i=0. Hinweis: Wählen Sie Argumente immer im Bereich (−π, π. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Es geht also im Grunde nur darum, wie du berechnest. Dafür hast du im Wesentlichen zwei Möglichkeiten: Du wandelst in die Exponentialdarstellung oder Polardarstellung um, ziehst die Wurzel (Wurzel aus dem Betrag und Argument halbieren) und wandelst wieder in die Komponentendarstellung um Du setzt mit an. Quadrieren liefert Der Vergleich von Real- und Imaginärteil links und rechts ergibt ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für a und welches zu lösen ist. |
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Da du als Ergebnis Real- und Imaginärteil rausbekommen sollst, ist Romans zweite Variante sinnvoller. Die zweite Lösung für die Wurzel ist . |
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Da du als Ergebnis Real- und Imaginärteil rausbekommen sollst, ist Romans zweite Variante sinnvoller. Aber nur bei praxisfernen Schulaufgaben, bei denen auf "schöne" Zahlen bei den Ergebnissen geachtet wird. Abgesehen davon zielt der gegebene Hinweis "Hinweis: Wählen Sie Argumente immer im Bereich (−π, π." doch eher auf die geradlinigere erste Variante ab - wobei es für die gestellte Aufgabe völlig egal ist, aus welchem Bereich man das Argument wählt, da ja ohnedies wieder in die Komponentenform rückgewandelt wird. Die zweite Lösung für die Wurzel ist die wird kaum benötigt, da für die Lösung ja offenbar eine beaknnte Formel für die Lösung quadratischer Gleichungen benutzt wird und idR ja ohnedies ein vorkommt. |
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Vielen Dank! |
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Man kann sich auch die Mühe machen, allgemein die algebraische Darstellung der komplexen Quadratwurzel einer ebenfalls in algebraischer Form vorliegenden komplexen Zahl zu finden, wie dies ein geschätzter Kollege aus einem anderen Forum mal getan hatte: http//www.matheboard.de/thread.php?postid=55481#post55481 Im vorliegenden Fall mit und damit dann ergibt das als Wurzel-Hauptwert . Geht natürlich nicht immer so schön auf, so ist beispielsweise , weitere Vereinfachungen Fehlanzeige. ;-) |
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