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Wie komme ich auf das Infimum?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Iuli4 aktiv_icon

12:37 Uhr, 24.10.2023

Hallo. Ich soll folgende Aufgabe lösen.

Finde das Infimum, Supremum, Maximum und Minimum folgender Menge:

M = {(5 + (\frac{1}{n}) : n

element

N}

Supremum und Maximum kapier ich.
Beim Infimum häng ich aber.
Laut einem Freund soll ich folgendes Zeigen.

5 \leq x

für alle

x

∈

M x \in M

Für alle

y > 5

gibt es ein

x

∈

M

mit

x < y

Insbesondere der zweite Satz mit

y > 5 ...

. verwirrt mcih.

Könnt ihr mir helfen?

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KL700 aktiv_icon

12:46 Uhr, 24.10.2023

\frac{1}{n}

geht gegen 0 für

x \to \infty

Das Infimum ist die größte untere Schranke der Menge.

D . h

alle Werte der betreffenden Menge sind größer oder gleich des Infimum. Ist der Wert des gefundenen Infimum zusätzlich ein Element der Menge, so ist es gleichzeitig das Minimum.

5 ist das die untere Schranke und das Minimum.

michaL aktiv_icon

12:53 Uhr, 24.10.2023

Hallo,

das Infimum ist die größte aller unteren Schranken, kurz: die größte untere Schranke.

Klar: 4 ist auch eine untere Schranke von

M

, aber eben nicht die größte.

Wenn du also zeigen willst, dass 5 die größte untere Schranke von

M

ist, so musst du die beiden Aspekte dessen nachprüfen:
* 5 muss eine untere Schranke sein.
* 5 muss unter allen unteren Schranken die größte sein.

Erster Teil ist leicht erledigt:

5 + \frac{1}{n} \geq 5

\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{1}{n} \geq 0

wahre Aussage (hoffe jedenfalls, dass wir uns darauf einigen können)

Zweiter Teil: 5 muss unter allen unteren Schranken die größte sein.
Umgekehrt: Jede größere Zahl als 5 ist selbst keine untere Schranke mehr.
(Diesen Trick nimmt man gerne, sofern möglich.)

Ok, sei also

ε > 0

(klar:

ε \in ℝ

).
Dann gilt wegen Archimedes:

\exists n \in ℕ : n \cdot ε > 1

Das ist gleichbedeutend mit:

\frac{1}{n} < ε

Dann gilt aber:

5 + \frac{1}{n} < 5 + ε

Was folgt aus dieser letzten Zeile?
Keine Zahl

x > 5

ist mehr eine untere Schranke von

M

. (Verfahren zum Finden eines Elementes von

M

, dass unterhalb dieser Pseudoschranke liegt, findet sich oben!)
Also muss 5 selbst die größte untere Schranke, also das Infimum sein.

Mfg Michael

PS: @KL700: Da

5 \notin M

, hat

M

kein Minimum!

Iuli4 aktiv_icon

13:16 Uhr, 24.10.2023

Besten Dank für eure Hilfe

=)

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