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Wie komme ich auf die Nullstellen dieser Funktion?

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Trigonometrische Funktionen

Analina aktiv_icon

11:31 Uhr, 04.07.2016

Habe folgende Gleichung:

{sin}^{2} (2 x) - \frac{3}{2} sin (2 x) + \frac{1}{2} = 0

Dachte erstmal an die PQ-Formel, aber haut bei mir nicht hin. Wenn ich

\frac{3}{2} sin (2)

Als mein

p

nehme und

\frac{1}{2}

als

q,

kommt bei mir

1,028 . .

. raus, das ist keine Nullstelle. Also geh ich mal davon aus, dass die PQ-Formel der falsche Ansatz ist. Wie komm ich sonst an die Nullstelle/n?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

11:43 Uhr, 04.07.2016

Hallo,
Du Hast Dich nur verrechnet.
(Streng genommen musst Du

sin (2 x) = u

substituieren.)
Über die pq-Formel komme ich auf die beiden Lösungen

sin (2 x) = 1

und

sin (2 x) = \frac{1}{2}

Weißt Du, wie es weitergehet?
;-)

Analina aktiv_icon

11:51 Uhr, 04.07.2016

Wieso müsste ich substituieren? Und ohne das

\frac{3}{2}

? Hätte ich jetzt nicht erkannt..

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12:19 Uhr, 04.07.2016

u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2} = 0

u_{1} = 1

u_{2} = \frac{1}{2}

sin (2 x) = 1

2 x = \frac{π}{2}

x = \frac{π}{4}

sin (2 x) = \frac{1}{2}

2 x = \frac{π}{4}

oder

2 x = \frac{3}{4} π

x = . .

.

(jeweils im Intervall 0 bis

2 π)

Beachte die Periode, wenn du alle Lösungen angeben sollst.

Analina aktiv_icon

13:13 Uhr, 04.07.2016

Was ist das für ein Zwischenschritt von

sin (2 x) = 1

2 x = \frac{π}{2}

Kann ich nicht ganz nachvollziehen

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13:38 Uhr, 04.07.2016

Man sollte wissen, das der sin bei 90°(=pi/2) 1 ist und bei 45°(=

\frac{π}{4})

und 135°(

= \frac{3}{4}

pi)den Wert

\frac{1}{2}

hat.

Analina aktiv_icon

14:08 Uhr, 04.07.2016

Bei mir ist der

sin (\frac{π}{4})

aber nicht

\frac{1}{2}

Habs jetzt aufjedenfall mit

\frac{π}{6},

vielen vielen dank für die Hilfe!

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14:15 Uhr, 04.07.2016

Du musst einsetzen:

sin (2 \cdot \frac{π}{4}) = sin (\frac{π}{2}) =

sin(90°)

= 1

Roman-22

14:56 Uhr, 04.07.2016

>

Man sollte wissen, das der sin bei 90°(=pi/2) 1 ist und bei 45°(= π4) und 135°(

= 34

pi)den Wert

12

hat.

Wow!!! Der Sinus als lineare Funktion! Da müssten jetzt aber sehr viele Bücher umgeschrieben werden!

Aber Analina hat ja zum Glück den Unsinn erkannt und richtigerweise

2 x = \frac{π}{6}

gewählt und kommt vielleicht auch noch auf

sin (5 \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

Analina aktiv_icon

15:38 Uhr, 04.07.2016

So, jetzt hab ich folgendes raus, für welche

x

die Gleichung erfüllt wird:

x = \frac{π}{4}

x = \frac{π}{12}

x = 5 \cdot \frac{π}{12}

Das gilt ja dann für alle

x + k \cdot π,

wobei

k

durch 2 teilbar sein muss und

x

eben einer der rausbekommenen Zahlen. Wie schreibt man das "in Mathe" auf? Ich bin noch nicht so gut, was das richtige aufschreiben betrifft..

Roman-22

15:47 Uhr, 04.07.2016

Das heißt, du sollst alle Lösungen in

ℝ

bestimmen, ja?

Dann bist du schon auf dem richtigen Weg:

L = {x \in ℝ | x = \frac{π}{4} + k \cdot π \lor x = \frac{π}{12} + k \cdot π \lor x = \frac{5 π}{12} + k \cdot π)

mit

k \in ℤ

>

wobei

k

durch 2 teilbar
Das könntest du billiger mit "

... + k \cdot 2 π

mit

k \in ℤ

" haben, aber:
Es gilt zB

u . a

sin (2 x) = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \cdot x_{1} = \frac{π}{6} + k \cdot 2 π \Rightarrow x_{1} = \frac{π}{12} + k \cdot π

ebenso natürlich für

2 \cdot x_{2} = \frac{5 π}{6} + k \cdot 2 π \to x_{2} = \frac{5 π}{12} + k \cdot π

Die Lösungen für

2 x

haben die Periodizität

2 π,

aber deine Lösungen für

x

haben daher die Periodizität

π!

R

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15:51 Uhr, 04.07.2016

Danke, Roman.
Ich bin bei den sin-Werten irgendwie durcheinandergeraten. Natürlich hat der sin bei 30° und 150° den Wert

\frac{1}{2}

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