Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wie komme ich von Folgen zu Reihen ?

Wie komme ich von Folgen zu Reihen ?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Folgen und Reihen, Partialsummen, reih

Zude93 aktiv_icon

15:54 Uhr, 04.12.2018

Moin!

Folgen und Reihen sind für mich nichts neues, trozdem gibt es ein Verstädnnisproblem was ich schon immer zu dem Thema habe.

Wir haben eine Folge von irgendwelchen Zahlen. Die Aufsummierung bis zu einem Glied

n

wird Partialsumme gennant. Wie ich jedes Glied einer Folge erzeuge, weiß ich durch eine Bildungsvorschrift ak.

Wenn ich also die Summe der ersten

100

Glieder haben möchte, Summiere ich diese einfach von

k = 1

bis

n = 100

auf.
Soweit so gut.

Eine Reihe ist definiert als die Folge der Partialsummen einer Folge. Und genau hier liegt der Hund begraben. Unendlich ist natürlich ein problematischer Wert, aber ich versuche mein Problem einmal zu schildern.
Eine Reihe wird ja mit dem Summenzeiche von

k = 1

bis unendlich geschrieben, wo jedes Glied ak ist.
Auch wenn unendlich natürlich nicht erreichbar ist, so kommt bei meinem verständnis von Mathe eine Zahl raus wenn ich etwas aufsummiere, keine Folge. Und das verstehe ich nicht.

Wenn ich unendlich Glieder summiere bekomme ich eine Zahl raus. Wenn ich erst das erste Glied, dann die ersten beiden, dann die ersten 3 etc summiere eine Folge aus Partialsummen. Nun ist die Definition einer Reihe nunmal eine Summe die ja theoretisch 1 Zahl ergibt oder sich dieser annährt.
Inwiefern ist eine Folge von Partialsummen

(1,3,6,10)

das gleiche wie 1 Summe (auch wenn diese gegen unendlich läuft)?

Ich verstehe dass ich mit der unendlichen Summe theoretisch jede Partialsumme berechnen kann. Aber die Partialsumme ist ja auch als Summe definiert. Wieso ist plötzlich eine Folge als einzelne Summe definiert? Selbst wenn sie richtung unendlich geht. Die erste Partialsumme wäre ja von

k = 1

bis 1. Und so weiter. Also muss ich für jede Partialsumme eine eigene Summe haben von

k

bis zum Index

n

. Wieso kann ich aber plötzlich ALLE Partialsummen als einzelne Summe schrieben, mit der ich doch theoretisch nur 1 Partialsumme bekomme. Unzwar die wenn ich unendlich mal Summiere.

Würde mich über Denkhilfen freuen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

17:13 Uhr, 04.12.2018

>

Eine Reihe ist definiert als die Folge der Partialsummen einer Folge.
Nein, das ist falsch!
Eine Reihe ist die angeschriebene, aber nicht ausgerechnete Summe der Glieder einer Folge.

Der Begriff der Konvergenz und der Grenzwert einer unendlichen Reihe sind definiert über Konvergenz und Grenzwert der Folge der Partialsummen.

>

Wenn ich unendlich Glieder summiere bekomme ich eine Zahl raus.
Nein, nicht immer! Das ist eben der Unterschied zwischen einer konvergenten und einer divergenten Reihe.

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} = 1

Diese beiden Reihen streben also tatsächlich jeweils gegen eine Zahl, da die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist und sich diesem Wert nähert.

Aber

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} =

\infty

\sum_{k = 1}^{\infty} 1 =

\infty

"

sind nicht konvergent, da auch die Folge ihrer Partialsummen über alle Grenzen streben.

Und auch

\sum_{k = 0}^{\infty} {(- 1)}^{k} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 \pm . .

.

ist divergent, da die Folge der Partialsummen

< 1,0,1,0,1,0,1,0, ... >

keinen Grenzwert, sondern zwei unterschiedliche Häufungspunkte hat.

rundblick aktiv_icon

17:44 Uhr, 04.12.2018

.
"Wie komme ich von Folgen zu Reihen ? "
hm..
nimm zB mal die konkrete Folge der Stammbrüche

a_{k} = \frac{1}{k} . .

. mit

k \in N

also

a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{2}, a_{3} = \frac{1}{3}, a_{4} = \frac{1}{4}, ... . .

, a_{n} = \frac{1}{n}

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. du siehst mühelos, das

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

und jetzt kannst du damit eine neue Zahlenfolge erfinden.. zB die Folge der Teilsummen

s_{1} = a_{1} = 1

s_{2} = a_{1} + a_{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

s_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = . .

.
.
.

s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + . .

+ a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + . .

+ \frac{1}{n} = . .

.

wie du siehst, hat jedes Glied dieser neuen Zahlenfolge namens "endliche Reihe"
genau einen Zahlenwert den du ermitteln kannst, dh du hast
mit dieser Partialsummenfolge einfach eine neue Zahlenfolge .. ok?

so
und jetzt kommt die Frage: hat diese neue Zahlenfolge "endliche Reihe"
auch einen Grenzwert wenn du

n

immer grösser werden lässt ?

also: existiert auch für diese neue Folge

S = lim_{n \to \infty} s_{n}

was meinst?

\to lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} =

??

mal ja - mal nein ..
und falls für irgend eine Folge

a_{k}

die Teilsummenfolge

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

einen Grenzwert

S

hat, dann schreibt Mann statt

S = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

kurz

S = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} . .

. und liest salopp

\to S

ist die Summe der "unendlichen Reihe"

"Würde mich über Denkhilfen freuen"
hm .. kommt Freude auf?
.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1450776

1450759

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?