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Wie komplexen Eigenvektor und Zahl berechnen?

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Sonstiges

Tags: berechnen, Eigenvektor, Eigenwert, Komplex, Komplexe Zahlen

Idefixvfl aktiv_icon

17:12 Uhr, 27.09.2011

Ich brauche dringend noch einmal eure Hilfe:

Ich weiß wie ich Eigenwerte und Eigenvektoren berechne. Aber wie berechne ich einen komplexen Eigenvektor und eine komplexe Zahl?

Hier das Beispiel:

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix})

dann erhalte ich ja

λ^{2} - 2 λ + 3

wenn ich das jetzt in die pq Formel einsetze bekomme ich die komplexen Eigenwerte

λ 1 = 1 + i \sqrt{2}

λ 2 = 1 - i \sqrt{2}

Das sind dann ja die komplexen Eigenwerte.

Aber wie berechne ich jetzt die komplexen Eigenvektoren und wie berechne ich eine komplexe Zahl?

Danke für eure Hilfe!

studibi aktiv_icon

19:12 Uhr, 27.09.2011

hi,

die Eigenvektoren hast du richtig bestimmt. Nun stellst du die zugehörigen Gleichungssysteme auf:

1 x + 2 y = 1 x + \sqrt{2} i x

- x + y = 1 y + \sqrt{2} i y

das sind die Gleichungen zum Eigenvektor

1 + \sqrt{2} i

Nun das Gleichungssystem lösen, indem du die zweite Gleichung nach

x

auflöst.

x = - \sqrt{2} i

und anhand der ersten Gleichung

y

bestimmen zu

y = 1

.
Analog für den zweiten Eigenwert verfahren.

Idefixvfl aktiv_icon

20:35 Uhr, 27.09.2011

Danke für deine Antwort.

Ich habe noch eine Rückfrage. Du meintest ja wahrscheinlich,dass das das Gleichungssystem zu dem EigenWERT ist ne?

Und,muss ich das jetzt auch noch für

λ 2

machen? Warum ist

y = 1

studibi aktiv_icon

20:42 Uhr, 27.09.2011

y = 1

erhälst du aus der ersten Gleichung durch Umstellen nach Einsetzen des bereits berechneten

x

Wertes.
Und ja, du musst das auch noch für den zweiten Eigenwert machen. Das Gleichungssystem bezieht sich ja nur auf den ersten EigenWERT.

Idefixvfl aktiv_icon

20:58 Uhr, 27.09.2011

Könntest du mir das auch noch vorrechnen? Das wäre total nett.

Ist das dann auch das wie man eine komplexe ZAHL berechnet oder geht das noch anders?

Idefixvfl aktiv_icon

21:15 Uhr, 27.09.2011

kann es sein, dass die möglichen komplexen Eigenvektoren

λ 1 = (- \sqrt{2 i}, 1)

und für

λ 2 = (\sqrt{2 i}, - 1)

sind?

Was ist dann die komplexe Zahl?

Gerd30.1 aktiv_icon

09:19 Uhr, 28.09.2011

Für

λ_{1} = 1 + i \sqrt{2}

gilt:

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = 1 + i \sqrt{2} \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}),

also:

x + 2 y = (1 + i \sqrt{2}) x \Leftrightarrow - i \sqrt{2} x + 2 y = 0

- x + y = (1 + i \sqrt{2}) y \Leftrightarrow - x - i \sqrt{2} y = 0 | \cdot i \sqrt{2} \Leftrightarrow - i \sqrt{2} x + 2 y = 0

Also:

y = \frac{i}{\sqrt{2}} x, d . h

. der Eigenvektor

\vec{v_{1}} = t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ \frac{i}{\sqrt{2}} \end{matrix})

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