Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wie lang ist ein springender Ball unterwegs?

Wie lang ist ein springender Ball unterwegs?

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Weg des Balles

Meiti aktiv_icon

11:09 Uhr, 20.06.2010

Ich habe hier ein relativ einfache Aufgabe. Allerdings kann ich sie nur in Ansätzen zeichnerisch lösen.

Ein Ball fällt aus einer Höhe von

2 m

auf den Boden, springt hoch, fällt wieder, usw. Jedes Mal ist die neue Höhe, die der Ball erreicht,

\frac{6}{7}

der alten.

1)

Wie lang ist der Weg

w,

den der Ball insgesamt zurücklegt?

2)

Wie oft muss der Ball hochspringen, damit der bis dahin zurückgelegte Weg

w'

sich von

w

um höchstens 1 mm unterscheidet?

Zeichnerisch und auch aus eigenen Erfahrungen wird bei

1)

klar, dass der Ball Richtung Boden einen immer kleineren Abstand zwischen Hochspringen und Fallen hat. Dafür gibt es ja sicherlich eine Formel

o

.Ä. Wie kann ich da vorgehen? Man kann es in ein Koordinatensystem zeichnerisch darstellen. Wie kann man es rechnerisch darstellen?

Und wie muss ich bei

2)

vorgehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

vulpi aktiv_icon

12:38 Uhr, 20.06.2010

Hi,
die einzenlnen Strecken des Balles beschreiben eine geometrische Folge.

Wenn

S

jeweils ein rauf-runter Zyklus ist, dann hast du

S_{0} = 2 m,

nur abwärts

h_{1} = \frac{12}{7} m \Rightarrow S_{1} = 2 h_{1} = \frac{24}{7} m

h_{2} = \frac{6}{7} h_{1} \Rightarrow S_{2} = 2 \cdot \frac{6}{7} h_{1} = \frac{6}{7} S_{1}

usw.

also

S_{n} = S_{1} \cdot q^{n - 1}

mit

q = \frac{6}{7}

Für die SUMME , also für eine geometrische Reihe, gilt allgemein:

Sum_n

= a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

Also Beispiel:
Der Ball dotzt 5 mal auf, das wäre

2 m

runterfallen

+ 4

rauf-runter Zyklen, also

B (5) = 2 m + S_{1} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{7})}^{4}}{\frac{1}{7}} =

B (5) = 2 m + 7 S_{1} (1 - {(\frac{6}{7})}^{4})

B (n) = 2 m + 7 S_{1} (1 - {(\frac{6}{7})}^{n - 1})

B (n) = 2 m + 24 m (1 - {(\frac{6}{7})}^{n - 1})

B (n)

steht für Ballstrecke beim

n

. Aufdotzen :-)

Das blöde bei der Aufgabe ist, dass das 1. Aufdotzen nur ein halber Zyklus
ist , und nur aus Runterfallen besteht.
Du könntest die Strecken auch in zwei getrennte geometrische Reihen aufteilen,
also eine Reihe für die Fallstrecken

F_{1} = 2 m, F_{2} = 2 m \cdot q

etc.

\Rightarrow

SumF_n

= F_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

und eine Reihe für die Kletterstrecken:

K_{1} = \frac{12}{7} m, K_{2} = K_{1} \cdot q

etc.

\Rightarrow

SumK_n

= K_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

Die erste Version mit einer Formel erscheint mir zumindest übersichtlicher.

mfg

studentin86 aktiv_icon

15:55 Uhr, 20.06.2010

Hallo vulpi,

könntest du deine Schritte bitte etwas ausführlicher erklären?
Diese Aufgabe interessiert mich auch. Ich verstehe leider noch nicht wie du auf das Ergebnis gekommen bist.
Danke im Voraus

Schöne Grüße

Bamamike aktiv_icon

18:57 Uhr, 20.06.2010

Mein Vorschlag:

2 + \sum_{k = 1}^{n} 4 \cdot q^{k}

Der Ball legt anfangs

2 m

zurück, also nur abwärts. Dann springt er

\frac{6}{7}

davon wieder hoch und den gleichen Weg zurück

(k = 1),

und für die nachfolgenden k-Werte gilt das entsprechend, jeder Summand beschreibt also eine Auf- und Abwärtsbewegung, daher der Wert 4 als Faktor vor dem

q, (2 m \cdot 2)

.

Der Grenzwert dieser Reihe ist

\frac{a_{0}}{1 - q},

die ersten

2 m

aber nicht vergessen.

Zur zweiten Aufgabe, hier ist gefragt, wann sich die Wegstrecken um weniger als einen Millimeter unterscheiden, also bei Auf- und Abwärtsweg um weniger als 2mm.

studentin86 aktiv_icon

22:37 Uhr, 20.06.2010

Hallo bamamike,

imuss ich für

q = \frac{6}{7}

einsetzen? Und was ist ao?
Müsste die Gleichung nicht

\frac{1}{1 - q}

lauten?

Meiti aktiv_icon

12:45 Uhr, 21.06.2010

Ich bin jetzt auch etwas verwirrt. Wie soll ich jetzt vorgehen? Wie rechne ist letztendlich den Weg aus?

vulpi aktiv_icon

20:53 Uhr, 21.06.2010

Hallo, nochmal.

Frage

1,

der Weg "insgesamt" ?
Da steht nirgends, ob und wann das Springen abbricht.
Springt der Ball ewig, dann wird der Weg

26 m,

q^{n} \to 0

für

q < 1

Siehe meine B(n)-Formel, da wird der Term in der Klammer dann 1

Und der Frage 2 enspricht

24 (1 - {(\frac{6}{7})}^{n_{x} - 1}) = 23,999

nach

n_{x}

aufzulösen.
ab diesem

n_{x} -

ten Dotzer fehlt nur noch 1 mm bis zur
ewigen Strecke, die ab dann mit jedem Dotzer wiederum weiter
angenähert wird.

mfg

Bamamike aktiv_icon

00:44 Uhr, 22.06.2010

siehe Wikipedia de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Da steht auch, dass man

q - 1

bzw.

q^{n} - 1

durch

1 - q

bzw.

1 - q^{n}

im Nenner und Zähler ersetzen kann.

s_{n} = a_{0} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}

q^{n}

für grosse

n

gegen Null geht

(q < 1)

steht im Zähler nur die 1.

a_{0}

ist in meiner Formel der Faktor

4, q

ist gleich

\frac{6}{7}

.
Ich errechne als Gesamtweg

26 m,

da die Formel

28 m

ergibt, da aber das erste

n = 1

und nicht

n = 0

ist, muss davon

2 m

abgezogen werden, der Ball fällt ja von Beginn an (bei

n = 0

startet der Ball nach oben bis

2 m

Höhe).

Zur Frage 2:
Ab dem

34

Dotzer ist der Unterschied zwischen zweier "Rauf-Runter" Dotzer geringer als 2mm, also der einfache Weg geringer als 1mm (1mm

= 0,001 m)

Als Hilfe habe ich eine Excel Tabelle angehängt, jeder Dotzer stellt eine Auf- und Abwärtsbewegung dar. Der Grenzwert wurde bei

n = 100

berechnet, die entsprechenden Zeilen habe ich der Übersicht halber aber ausgeblendet.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

773499

772995

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?