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Wie lang wird der Weg?

Schüler , 10. Klassenstufe

Tags: extremalproblem

TheOne123 aktiv_icon

00:50 Uhr, 21.09.2014

Also diese Aufgabe ist echt schwer und ich muss sie lösen können weil wir bald eine Klausur schreib und so eine Aufgabe möglicherweise vorkommen könnte. Also die Aufgabe lautet:

Vom Parkplatz an der Position

P (0 | \frac{1}{2})

soll ein möglichst kurzer Zugangsweg zum
Flussufer gebaut werden

(1

= 100 m)

Der Fluss lässt sich durch die Funktion

f (x) = 2 - \frac{1}{2} x^{2}

beschreiben

Wie lang wird der Weg mindestens?

Ich schicke in ein paar Minuten noch eine Skizze hier rein.
Ich hoffe ihr könnt helfen :-)
PS: was ist überhaupt mit 1 LE

= 100 m

gemeint? Das steht auch so im buch

TheOne123 aktiv_icon

00:57 Uhr, 21.09.2014

Hier ist die Skizze :

Ma-Ma aktiv_icon

02:09 Uhr, 21.09.2014

Das ist eine nette kleine

5 min

Aufgabe

. .

. *schmunzel*

- - - - - - - - - -

Ich würde zuerst die Skizze vereinfachen.
Ziehen wir alles um

0,5

Einheiten nach unten. Dann liegt

P (0 | 0)

und

f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 1,5

Verstanden? (Lass Dir das mal plotten!)

- - - - - - - - - - -

Den Punkt am Fluss nennen wir

A (x, y)

.
Von

P

nach A und dann nach unten

\to

rechtwinkliges Dreieck.

|PA|

= c =

Hypotenuse
Verstanden?

- - - - - - - - - - - - -

Jetzt das klassische Extremwertmodell.

1)

Hauptbedingung (WAS will ich berechnen ?)

2)

Nebenbedingung

3)

Zielfunktion

4) 1

. Ableitung (Zielfunktion)=0

- - - - - - - - - - - -

1)

Hauptbedingung

c = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

2)

Nebenbedingung (eine Variable durch eine andere ausdrücken)

y = - \frac{1}{2} x^{2} + 1,5

3)

Zielfunktion: Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen.

c = \sqrt{x^{2} + {(- \frac{1}{2} x^{2} + 1,5)}^{2}}

\to

an Binom. Formeln denken und die KLammer auflösen.

\to

Wurzel als Potenz schreiben

\to

Ableiten mit der Kettenregel

4) c' = ...

. ?
Extremwert: Ableitung

c' = 0

Dann Ausklammern und Satz vom Nullprodukt (SvN) anwenden.

- - - - - - - - - - - - -

Mein "passendes Ergebnis" (ohne Kontrolle, ob Min./Max.)

x = \pm 1

c = \sqrt{2}

LE
1 LE

= 100 m

(LE = LängenEinheit)

\sqrt{2} \cdot 100 m = ...

m

- - - - - - - - - - -

Fertig.
LG Ma-Ma

PS: Ich hoffe, hier kommt jetzt keiner supporten und rechnet Dir alles vor.
Du hast jetzt gerade noch die Chance, Dich selber in die Aufgabe hineinzudenken und das mit eigenem Köpfchen zu rechnen. Bei Fragen melde Dich. Viel Erfolg!

- - - - - - - - - - - -

Sollte ich zu nachtschlafener Zeit irgendwo einen Schusselfehler eingebaut haben, bitte Feedback. Danke.

TheOne123 aktiv_icon

17:31 Uhr, 21.09.2014

Okay danke das habe ich jetzt auch raus und das Ergebnis steht auch in den Lösungen. Aber darauf wäre ich nie selber gekommen ich glaube ich werde die Klausur morgen verhauen

: (

Ich versuche He mich nämlich Grade auch an einer anderen Aufgabe und die schaffe ich auch nicht...

: (

Atlantik aktiv_icon

17:39 Uhr, 21.09.2014

Stell doch die Aufgabe hier ein!

mfG

Atlantik

TheOne123 aktiv_icon

18:54 Uhr, 21.09.2014

Ja ich glaube das mache ich gleich als neue Frage.

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