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Wie leite ich eine e-Funktion auf? f(x) > F(x)

Schüler Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: Aufleitung, e-Funktion, Integral

msecure aktiv_icon

03:06 Uhr, 23.01.2012

Hallo liebes Onlinemathe-Forum,

es ist schon eine Weile her, dass ich mich hier zuletzt gemeldet habe. Mittlerweile komme ich in Mathe ganz gut klar, nur hin und wieder stellen sich Fragen, die ich von meinem Lehrer nur mit einem "Falsch!" (kurz

f)

"beantwortet" bekomme, sprich; er gibt mir keinen Lösungsvorschlag, keine Korrektur. Naja was solls... deshalb muss ich wieder auf eure Fähigkeiten hoffen und ich weiß, bei euch ist man sicher aufgehoben. :-)

Nun aber zu meiner Frage (Stoff der Stufe

12) :

Für eine Flächenberechnung einer Funktion brauche ich (unter anderem) die erste Aufleitung

F (x)

. Ableiten geht mittlerweile bei mir ganz wunderbar, hin und wieder ein paar Schwierigkeiten mit der zweiten Ableitung, vielleicht könntet ihr mir dazu auch noch Tipps geben?

1.
Wie leite ich eine e-Funktion auf?

f (x) = (x^{2} - 4 x) \cdot e^{2 - 2 x}

So in der Musterlösung steht nun:

F (x) = (- 0,5 x^{2} + 1,5 x + 0,75) \cdot e^{2 - 2 x}

\to a)

Ändert sich bei der Aufleitung die e-Funktionsbasis (also alles wo

e

steht) nicht?

Und dann meine eigentliche Frage, nämlich:

\to b)

Wie kommen man von

f (x)

F (x)

? Gibt es eine rechnerische Möglichkeit?

2.

Für ein gutes Verständnis würde ich euch bitten mir auch den Weg zur Aufleitung der Funktion

f (x) = 2 x^{2} \cdot e^{1 - 0,5 x}

Die Lösung davon habe ich leider nicht, brauche ich aber unbedingt.

3.

Ich will nicht zu viel verlangen, aber wenn ihr mir den Weg zu den Ableitungen der Funktion aus 2. erklären könntet (also

f' (x)

und

f'' (x))

wäre ich euch auch sehr dankbar.

Versteht mich nicht falsch; ich lasse euch wie immer nicht

(!)

meine Hausaufgaben machen, sondern gebe nur Beispielaufgaben, die ich nicht nachvollziehen kann und wo mir die Erklärung des Weges zur Lösung sehr wichtig wäre.

Am Donnerstag schreibe ich die Klausur. Wünscht mir Glück! :-)

Danke für alle Antworten im Vorraus!!!

Alles Liebe
msecure

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

magix aktiv_icon

08:58 Uhr, 23.01.2012

Uff, das sind aber eine Unmenge Fragen. Ich fang mal ganz am Anfang an.

Zunächst was Technisches:

e^{2 - 2 x}

wird hier durchaus richtig angezeigt, wenn man um den Exponenten eine Klammer macht. ;-)

Sodann:

e^{x}

bleibt beim Aufleiten unverändert. Das ist sehr, sehr praktisch. Man darf allerdings nicht vergessen, dass beim Ableiten die Kettenregel zur Anwendung kommt. Also muss umgekehrt beim Aufleiten der entsprechende Faktor berücksichtigt werden. Solange es sich nur um eine Zahl handelt, ist das nicht weiter problematisch.

Wenn du den Ausdruck

2 - 2 x,

der bei dir im Exponenten steht, nachdifferenzierst, erhältst du

- 2

.
Beim Aufleiten setzt du einfach den Faktor

\frac{1}{- 2}

vor den Ausdruck mit

e

und das wars dann auch schon.

Deine erste Aufgabe allerdings ist für die Schule schon ein harter Brocken, denn die Lösung gibts erst nach zweimaliger partieller Integration.

Ich kenne leider deinen Wissensstand in diesem Gebiet nicht. Hast du von dieser Integrationsmethode schon mal gehört und kannst damit was anfangen?

Melde dich heute Nachmittag oder Abend nochmal, dann können wir das gegebenenfalls im Dialog klären. Denn ich mag jetzt nicht ins Blaue hinein unendlich viel schreiben.

Gruß Magix

msecure aktiv_icon

00:13 Uhr, 24.01.2012

Hallo Magix,

danke, dass du dir die Zeit nimmst, mir zu helfen. Bitte lass mich nicht in Stich!

Also; Partielle Integration habe ich noch nie gehört und noch nie gemacht. Brauche ich jene, um

f (x)

aus Aufgabe 2 aufzuleiten? Ich muss doch irgendwie eine Methode geben, wie man

f (x)

mit einer e-Funktion aufleitet!?

Faktor

\frac{1}{- 2}

vor dem "Audruck" mit e? Heißt das etwa ich muss alle Zahlen von

f (x)

mit

\frac{1}{- 2}

multiplizieren? Oder soll ich den Exponenten von

e

mit dem Faktor multiplizieren? Beides kommt nämlich nicht hin (Zahlen im Exponenten von

e sin

bsp. in der Musterlösung unverändert, die Zahlen vor

e

sind anders und nicht mit dem Faktor zu berechnen).

Wenn du mir zu Aufgabe 2 eine sichere Lösung geben könntest, versuche ich noch einmal selbst an den Rechenweg zu kommen. Allerdings habe ich wirklich keine Ahnung von der Materie. Es ist für mich zwar logisch, wie

F (x)

sich aus

f (x)

bildet, also den Weg von

F (x)

f (x)

kann ich immer nachvollziehen und Ableiten habe ich auch verstanden (mit Kettenregel etc.), nur zum Aufleiten habe ich leider keine Ahnung.

Beim Ableiten bin ich mir auch manchmal unsicher bei der zweiten Ableitung. Geht jene wie der Weg von

f (x)

f' (x)

? Beim Ableiten ändert sich doch der e-Funktionsteil, nicht wahr (also der Exponent von

e)

? Tut er das beim Aufleiten nicht?

Liebe Grüße
msecure

magix aktiv_icon

09:31 Uhr, 24.01.2012

Hallo,

der Faktor

(\frac{1}{- 2})

oder anders geschrieben

- 0,5 (i n

deinem Text schaut das nämlich aus wie

1 - 2,

warum auch immer) wird einfach vor die e-Funktion geschrieben, also nicht in den Exponenten. Das mit dem "alle Zahlen von

f (x)

damit multiplizieren" klingt ein bisschen seltsam. Wenn du

z . B

3 \cdot 4 \cdot 5

dastehen hast und noch 2 dazumultiplizieren sollst, multiplizierst du halt den gesamten Ausdruck mit

2,

nicht jede einzelne Zahl.

Und du kannst beruhigt sein, ich habe deine Aufgabe 1 mit partieller Integration und allem pipapo nachgerechnet und komme tatsächlich auf die Musterlösung.

Über einen einfacheren Weg, um solche Funktionen aufzuleiten, muss ich erst nachdenken.

Gruß Magix

vulpi aktiv_icon

09:55 Uhr, 24.01.2012

Hallöle !

Dass ihr partielle Integration noch nicht geübt habt, wär in Anbetracht der Aufgabe aber seltsam. Vllt. kennst du es ja doch unter dem Namen "Produktintegration" ?
Bei der Methode wird die Produkt-Regel beim Ableiten "rückwärts" angewendet.

(u v)' = u' v + u v' \Leftrightarrow

u' v = (u v)' - u v'

Beide Seiten integrieren:

\int u' v = u v - \int u v' |

Das ist der Ansatz für die partielle Integration

Das zu bestimmende Integral hat ein Produkt 2er Funktionen als Integrand, Beispiel:

\int x e^{x} d x

Eine davon wird als Ableitung angesetzt, also:

u' := e^{x}

Zu dieser muß noch dessen "Aufleitung" bestimmt werden:

u = e^{x}

Die zweite wird als unveränderte Ausgangsfunktion angesetzt , also:

v := x

Zu dieser brauchst du dann die Ableitung:

v' = 1

Dass dann in obige Gleichung übertragen:

\int (e^{x} \cdot x) d x = e^{x} \cdot x - \int (e^{x} \cdot 1) d x

Jetzt siehst du auch den Sinn der Sache:
Das rechte Integral läßt sich elementar lösen, Ergebnis:

\int (e^{x} \cdot x) d x = e^{x} \cdot x - e^{x} + C

Aber die Sache erfordert einfach ÜBUING ! Erst mal einfache Beispiele wie meins,
bist du das Prizip gefressen hast :-)

P . S . :

e-Funktion

(e^{u})' = u' \cdot e^{u}

Nach Kettenregel, also der Exponent ändert sich NICHT

Jetzt kannst du das Ding auch "rückwärts" als Integrationsregel nutzten:

\int u' e^{u} = e^{u} + C

wenn jetzt das ü' fehlt, aber nur ne Konstante ist, kannst du die dann "nachbessern"

Beispiel:

\int e^{3 x + 7} d x =

?
Nach der obigen Integrationsregel bräuchte ich da

(3 x + 7)' = 3

davor

\int 3 \cdot e^{3 x + 7} d x =

Wunschintegral

= e^{3 x + 7} + C

Damit das "Wunschintegral" wieder mit dem gesuchten übereinstimmt, muß ich die
Verdreifachung einfach wieder ausgleichen:

\int e^{3 x + 7} d x = \frac{1}{3} \int 3 \cdot e^{3 x + 7} d x = \frac{1}{3} e^{3 x + 7} + C^{\cdot}

Vllt konnt ich ja ein wenig helfen.

lg

Bummerang

10:05 Uhr, 24.01.2012

Hallo,

diese Aufgabe ist auch ohne partielle Integration lösbar, magix kann also aufhören nach einer solchen Lösung zu suchen und der Fragestellerin/dem Fragesteller kann ich eine auch für sie/ihn verständliche Lösung anbieten!

f (x) = (x^{2} - 4 \cdot x)

F (x) = (- 0,5 \cdot x^{2} + 1,5 \cdot x + 0,75) \cdot e^{2 - 2 \cdot x}

Bei solchen Funktionen wie dieser hier, kann man auch etwas anders vorgehen, das Verfahren basiert auf dem Koeffizientenvergleich!

Wenn man ein Produkt aus Polynom

p (x)

und Exponentialfunktion

e^{r (x)}

ableitet, dann erhält man

F (x) = p (x) \cdot e^{r (x)}

f (x) = F' (x) = p (x) \cdot e^{r (x)} \cdot r' (x) + p' (x) \cdot e^{r (x)} = (p (x) \cdot r' (x) + p' (x)) \cdot e^{r (x)}

Man erkennt in diesem Fall, in dem

r (x)

eine lineare Funktion ist, dass

r' (x)

eine konstante Zahl (ungleich Null) ist und somit der Grad des Polynoms in der Ableitung gleich dem Grad des Polynoms in der Stammfunktion ist. Also kann man hier den Ansatz machen:

F (x) = (a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) \cdot e^{2 - 2 \cdot x}

f (x) = F' (x) = ((a \cdot x^{2} + b \cdot x + c) \cdot (- 2) + (2 \cdot a \cdot x + b)) \cdot e^{2 - 2 \cdot x}

f (x) = (- 2 \cdot a \cdot x^{2} - 2 \cdot b \cdot x - 2 \cdot c + 2 \cdot a \cdot x + b) \cdot e^{2 - 2 \cdot x}

f (x) = ((- 2 \cdot a) \cdot x^{2} + (2 \cdot a - 2 \cdot b) \cdot x + (b - 2 \cdot c)) \cdot e^{2 - 2 \cdot x} = 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 0 = x^{2} - 4 \cdot x

Das ergibt das einfache und bereits zeilenweise auflösbare Gleichungssystem:

- 2 \cdot a = 1 \Rightarrow a = - \frac{1}{2}

2 \cdot a - 2 \cdot b = - 4 \Rightarrow - 1 - 2 \cdot b = - 4 \Rightarrow 2 \cdot b = 3 \Rightarrow b = \frac{3}{2}

b - 2 \cdot c = 0 \Rightarrow 2 \cdot c = b \Rightarrow 2 \cdot c = \frac{3}{2} \Rightarrow c = \frac{3}{4}

Das Verfahren funktioniert vor allem wegen der inneren Ableitung von

r (x),

die hier eine Konstante ist.

Die zweite Aufgabe schaffst Du damit sicher auch allein und die dritte aufgabe ist reines Anwenden der Produktregel, die ist in meiner Lösung auch beispielhaft für Polynome 2-ten Grades entnehmbar und Dein Polynom ist nur zweiten Grades!

msecure aktiv_icon

17:13 Uhr, 24.01.2012

Ihr bietet mir alle scheinbar irgendwie völlig verschiedene Rechenmöglichkeiten an, was eigentlich kein Problem wäre, würde ich sie wenigstens nachvollziehen können. Ich gehe mal einzeln auf eure Beiträge ein.

1. Beitrag

- \to

@magix

Faktor

(\frac{1}{- 2})

bzw.

- 0,5

vor die e-Funktion? Woher kommt die Zahl

(\frac{1}{- 2})

überhaupt her? Soll das bei Aufgabe 1 jetzt

z . B

. heißen:

f (x) = (x^{2} - 4 x) \cdot (\frac{1}{- 2}) \cdot e^{2 - 2 x}

?

Das würde doch ergeben:

F (x) = (- 0,5 x^{2} - 0,75 x) \cdot e^{2 - 2 x}

???

Musterlösung aber:

F (x) = (- 0,5 x^{2} + 1,5 x + 0,75) \cdot e^{2 - 2 x}

Ich glaube dir, dass du das nachgerechnet hast, aber es nützt mir nicht, wenn du mir nicht deinen Rechenweg hinschreibst. Denn wie du siehst verwirren mich die kurzen Sätze und lassen mich zu falschen (?) Annahmen kommen. Außerdem bat ich um die Berechnung der Aufgabe 2.

2. Beitrag

- \to

@vulpi

Nein, auch den Begriff "Produktintegration" habe ich nich nie gehört und das kann nicht an mir liegen, da ich immer im Unterricht war und zugehört habe.

Partielle Integration habe ich mittlweile gegoogelt und einige schwere Anleitungen gefunden, aber auch eine sehr verständliche, aber leider zu leichte Erklärung von mathehilfe auf Youtube. Folgendes habe ich da gelernt:

1. Man nehme den Exponenten und addiere für das Aufleiten

1,

da beim Ableiten ja 1 abgezogen wird. Logisch.

2. Schritt: Man nehme den Kehrwert des neuen aufgradierten Exponenten und multipliziere ihn mit den Werten.

e

bleibt samt Exponent unverändert erhalten.

Was sagst du dazu?

magix aktiv_icon

22:07 Uhr, 24.01.2012

Sorry, wenn wir aneinander vorbeigeredet bzw. -geschrieben haben.

Ich habe nur erklärt, wie man eine e-Funktion aufleitet, nicht wie man deine Aufgabe 1 komplett löst. Denn das könnte ich eben nur mit der partiellen Integration.

Und bevor ich mir und dir antue, dass ich hier viele Zeilen mit etwas vollschreibe, was du (noch) gar nicht gelernt hast und deshalb auch nicht können musst, wollte ich eben erst wissen, ob du mit dem Begriff partielle Integration etwas anfangen kannst. Da dies nicht der Fall ist, du es auch nicht unter einem anderen Begriff, wie Vulpi es erklärt hat, kennst, bin ich mit meinem Latein am Ende.

Vielleicht siehst du dir doch mal an, was Bummerang vorschlägt.

Was die 1. und 2. Ableitung von Aufgabe 2 angeht, so muss man halt die Produktregel anwenden. Hat ja Vulpi schon beschrieben, wie das geht.

Probier es doch mal, dann helfe ich oder jemand anders dir gerne weiter, wenns hakt.

Gruß Magix

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