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Wie löse ich die Aufgabe? Ich kann sie nicht lösen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Hm1909 aktiv_icon

14:09 Uhr, 15.06.2017

Hallo, wir haben eine Aufgabe zum Thema folgen bekommen. Leider komme ich bei einer Aufgabe nicht weiter. Wenn mir jemand helfen könnte wäre ich euch sehr dankbar!

Aufgabenstellung: welche der angegeben Folgen (an) sind bestimmt, welche unbestimmt divergent? Bestimmen sie (zum Beweis der bestimmten Divergenz) zu einem beliebigen

K E R +

ein

n 0 = n 0 (K) E N,

so dass an

>

K(an<-K) für alle n>=no ist.

R + =

positive reele Zahlen

N =

natürliche Zahlen

E =

Element

1 .) (\frac{1 - n^{2}}{n})

Die Lösung dazu wäre : Wähle no

> K + 1

Kann mir jemand erklären wie man darauf kommt?
Vielen dank schon mal für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

14:53 Uhr, 15.06.2017

Hallo,

zunächst einmal wirkst du unhöflich. Es gibt in diesem Forum die Möglichkeit, die Zeichen, die du verwenden möchtest, auch zu setzen. Es gibt zwei verschiedene Modi. Einmal den Formeleditor (den ich nicht verwende). Der andere ist der "Experten"modus.

Du wolltest schreiben:
... zu einem beliebigen

K \in ℝ_{+}

ein

n_{0} = n_{0} (K) \in ℕ

, so dass

a_{n} > K

(

a_{n} < - K

) für alle

n \geq n_{0}

ist.

Geschrieben habe ich:
... zu einem beliebigen

$

K\in\mathbb{R}_+

$

ein

$

n_0=n_0(K)\in\mathbb{N}

$

, so dass

$

a_n > K

$

(

$

a_n<-K

$

) für alle

$

n\geq n_0

$

ist.

Warum "unhöflich"? Du erweckst den Eindruck, dass dir ein Erarbeiten der Schreibweise die Mühe nicht wert ist, erwartest aber ja offenbar eine Antwort. Für jemanden wie mich ist deine Schreibweise aber schwierig zu lesen. Tatsächlich bin ich zumeist dazu übergegangen, Fragen mit ungesetzten Formeln nicht mehr zu beantworten. Wenigstens ein Scan der Aufgabenstellung wäre ja allemal drin gewesen.

So, nun zur Aufgabe. Du fragtest:
> Kann mir jemand erklären wie man darauf kommt?

Das Ziel ist Abschätzen und das probateste Hilfsmittel Erfahrung.

Sicher erkennst du mit einem Blick, dass die Folge bestimmt divergiert Richtung

- \infty

.

Du beginnst deswegen mit der in Klammern stehenden Variante:

a_{n} < - K

: (IV)

\frac{1 - n^{2}}{n} \leq \frac{n - n^{2}}{n} \overset{n > 0}{=} 1 - n

(III)

Als nächstes "löst" du die folgende Ungleichung:

1 - n < - K \overset{}{\Leftrightarrow} 1 + K < n

(II)

Diese "Lösung" gibt dir dein

n_{0}

n_{0} > K + 1

. (I)

Nur...warum?

Der Grund liegt im Vereinfachen! Zwar ist auch

\frac{1 - n^{2}}{n} < - K

verhältnismäßig einfach "lösbar" im Sinne von "nach

n

umformbar, das ist aber
1. nicht immer möglich und
2. unnötig kompliziert.

Zuerst müssen wir uns klar machen, warum für alle

n \geq n_{0}

mit

n_{0}

wie in (I) die Ungleichung (IV) folgt. Das ist eigentlich einfach, muss aber mal selbst gedacht werden!
Also: Wenn

n > n_{0}

mit

n_{0} > K + 1

(also wie in (I)) gilt, so gilt also

n > K + 1

, was zu (II) äquivalent ist, d.h. es gilt

1 - n < - K

.

Nun gilt wegen (III) einerseits

a_{n} \leq 1 - n

,
andererseits aber wegen (II)

1 - n < - K

.
Zusammengesetz ergibt das

a_{n} \leq 1 - n < - K

bzw. ohne Mittelteil

a_{n} < - K

, was wir ja beweisen wollten.

Ziel ist es zu jeder Grenze

k

ein

n_{0}

zu finden, sodass alle folgenden Folgeglieder die Grenze

K

(bzw. hier

- K

) sprengen.
Doch diese

n_{0}

sind nicht immer leicht zu finden. Meist geistert auch im Kopf herum, man müsse das kleinste

n_{0}

mit dieser Eigenschaft finden. Doch das ist unnötig.
Der Gedanke ist eher folgender: Man behauptet,

K

sei eine (obere) Grenze und um das zu widerlegen, gibt man ein

n_{0}

an, ab dem alle Folgeglieder diese Grenze überschreiten. Also kann

K

keine Grenze gewesen sein.
Und da das allgemein für

K

gemacht wurde (also

K

variabel behandelt wurde), hat man damit gezeigt, dass kein

K

je eine Grenze sein kann.

Nun die Abschätzung.
Sie vereinfacht den Term, sodass ein Auflösen einfacher wird. Welche Vereinfachung man nehmen kann, hängt leider sehr von dem ab, was man schon gesehen hat bzw. welche Zusammenhänge man kennt, mit anderen Worten von Erfahrung.

Mfg Michael

Hm1909 aktiv_icon

15:14 Uhr, 15.06.2017

Hallo michaL,
Erst einmal vielen dank das du mir das so super erklärt hast. Es tut mit leid das ich dir den Eindruck vermittelt habe, dass ich unhöflich wirke, dass war nicht beabsichtigt.

Ich habe den Ansatz verstanden und den eigentlichen Vorgang. Meine Frage hierzu ist, ob ich bei weiteren Aufgaben dieser aufgabenstellung ähnlich vorgehen muss, oder variiert das?

Lg Hm

michaL aktiv_icon

15:21 Uhr, 15.06.2017

Hallo,

man kann zumeist so vorgehen. Manchmal mögen sich auch andere Methoden mehr anbieten, aber das sind Einzelfälle.

Mfg Michael

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