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Wie löse ich die Differentialgleichungen am Besten

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichung

Marv1234 aktiv_icon

16:04 Uhr, 14.04.2024

Hey,

Ich habe ein paar Differentialgleichungen bei denen ich nicht weiterkomme.

Bekomme ich Tipps/Ansätze oder vielleicht auch den kompletten Rechenweg?

(Bei der Jacobi-Dgl. genügt es, die Ersatzdifferentialgleichung herzuleiten und die Zuordnungen für die Trennung der Veränderlichen vorzunehmen.)

siehe Bild

eine ungefähre Schritt für Schritt Anleitung würde mir genügen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pleindespoir aktiv_icon

21:21 Uhr, 14.04.2024

möchtest Du mit der obersten Aufgabe (i) starten ?

Dann bringe mal das Üpsilom von der rechten Seite auf die linke Seite.
Dann wären schon mal die Variablen getrennt.

Marv1234 aktiv_icon

15:11 Uhr, 15.04.2024

Ich würde gerne mit (ii) angfangen da ich

(i)

schon gelöst habe. Bei (ii) kann man ja Substituieren:

y - 2 x + 8 = 2 (y - x + 4)

\to z = y - x + 4

y = z + x - 4

y' = z' + 1

und das dann in die DGL einsetzen.

Wie mache ich am Besten weiter?

HAL9000

15:42 Uhr, 15.04.2024

Ich sehe nicht, dass diese deine Substitution

z = y - x + 4

auf lange Sicht erfolgreich ist. Meine Idee wäre eine andere: Substitution

y = u \cdot (x - 4)

mit dann

y ´ = u ´ \cdot (x - 4) + u

. Eingesetzt führt das zu

\frac{1}{4} \cdot \frac{2 u \cdot (x - 4) - 2 (x - 4)}{x - 4 - 3 u \cdot (x - 4)} + u ´ \cdot (x - 4) + u = \frac{x - 4 - 3 u \cdot (x - 4)}{2 u \cdot (x - 4) - 2 (x - 4)}

\frac{u - 1}{1 - 3 u} + 2 u ´ \cdot (x - 4) + 2 u = \frac{1 - 3 u}{u - 1}

.

Das ist eine DGL mit trennbaren Variablen und dann gebrochen rationalen Integranden, also prinzipiell beherrschbar.

Marv1234 aktiv_icon

16:48 Uhr, 15.04.2024

Nachdem ich integriert mit

u 0 = - \frac{1}{4}

und

x 0 = 0

habe, komme ich auf

ln (u) - u - 1,7 = ln (x - 4) - 1,39

.
Stimmt die Gleichung?

Jetzt habe ich

y

wieder eingesetzt und versucht nach

y

aufzulösen. Dies ist mir nicht gelungen.

Wie mache ich es am Besten?

HAL9000

09:17 Uhr, 16.04.2024

Mir ist unklar, wie du auf ein so einfaches Resultat kommen willst. :(

Ich ändere mal noch meine Substitution zu

y = u \cdot (4 - x)

mit dann

y ´ = u ´ \cdot (4 - x) - u

, eingesetzt

\frac{1}{4} \cdot \frac{2 u \cdot (4 - x) + 2 (4 - x)}{x - 4 - 3 u \cdot (4 - x)} + u ´ \cdot (4 - x) - u = \frac{x - 4 - 3 u \cdot (4 - x)}{2 u \cdot (4 - x) + 2 (4 - x)}

- \frac{u + 1}{1 + 3 u} + 2 u ´ \cdot (4 - x) - 2 u = - \frac{1 + 3 u}{u + 1}

2 u ´ \cdot (4 - x) = \frac{u + 1}{3 u + 1} - \frac{3 u + 1}{u + 1} + 2 u = \frac{u^{2} + 2 u + 1 - 9 u^{2} - 6 u - 1 + 6 u^{3} + 8 u^{2} + 2 u}{(u + 1) (3 u + 1)} = \frac{6 u^{3} - 2 u}{(u + 1) (3 u + 1)}

\frac{(u + 1) (3 u + 1)}{u (3 u^{2} - 1)} \cdot u ´ = - \frac{1}{x - 4}

Zur Integration links ist nun eine Partialbruchzerlegung fällig, die nachfolgende Integration ergibt

(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}) \ln ∣ 1 - \sqrt{3} u ∣ + (1 - \frac{2}{\sqrt{3}}) \ln ∣ 1 + \sqrt{3} u ∣ - \ln ∣ u ∣ = - \ln ∣ 4 - x ∣ + C_{1}

\ln ∣ \frac{1 - 3 u^{2}}{u} ∣ + \frac{2}{\sqrt{3}} \ln ∣ \frac{1 - \sqrt{3} u}{1 + \sqrt{3} u} ∣ = - \ln ∣ 4 - x ∣ + C_{1}

Via

y (0) = 1

respektive

u (0) = \frac{1}{4}

kann man

C_{1}

bestimmen:

\ln ∣ \frac{13}{4} ∣ + \frac{2}{\sqrt{3}} \ln ∣ \frac{4 - \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} ∣ = - \ln (4) + C_{1}

C_{1} = \ln (13) + \frac{2}{\sqrt{3}} \ln (\frac{4 - \sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}})

\ln ∣ \frac{1 - 3 u^{2}}{13 u} ∣ + \frac{2}{\sqrt{3}} \ln ∣ \frac{(4 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3} u)}{(4 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3} u)} ∣ = - \ln ∣ 4 - x ∣

x = 4 - \frac{13 u}{1 - 3 u^{2}} \cdot {(\frac{(4 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3} u)}{(4 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3} u)})}^{- \frac{2}{\sqrt{3}}}

EDIT: Irgendwo muss ich falsch abgebogen sein - vielleicht findet jemand den Fehler...

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