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Wie löse ich folgende Exponentialfunktion?

Schüler Gymnasium,

Tags: e-Funktion, Exponentialaufgaben, Exponentialfunktion, Exponentialgleichung

tobu01 aktiv_icon

22:10 Uhr, 18.07.2018

Hallo, ich habe das Problem, das ich nicht weiß, wie ich das

x

im Exponenten weg bekomme. Leider steht dazu in meinem Buch (ist ein Beispiel aus dem Buch und versuche den Rechenweg nachzuvollziehen) nur, dass der Ansatz

f (x) = g (x)

nach einer logarithmischen Rechnung auf

k

etwa

- 0,04625

führt.
Hier die Umrechnung:

f (x) = g (x)

100 \cdot {0,9548}^{x} = 100 \cdot e^{k \cdot x}

e^{k} = 0,9548

k = ln 0,9548

e

etwa

- 0,04625

Ich komme nicht darauf, wie die Buchhersteller in der 2. und 3. Zeile das

x

wegbekommen haben.

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.
Besten Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Einführung
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pivot aktiv_icon

22:20 Uhr, 18.07.2018

Hallo,

du hast die Gleichung

100 \cdot 0, 954 8^{x} = 100 \cdot e^{k \cdot x}

Jetzt gilt allgemein

a^{b \cdot c} = {(a^{b})}^{c} = {(a^{c})}^{b}

Das kann man jetzt auf

e^{k \cdot x}

anwenden.

e^{k \cdot x} = {(e^{k})}^{x}

Somit kann man schreiben

100 \cdot 0, 954 8^{x} = 100 \cdot {(e^{k})}^{x}

Jetzt vergleicht man die linke und die rechte Seite und erkennt, dass

0, 9548 = e^{k}

sein muss.
Jetzt nimmt man den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten

\ln (0, 9548) = \ln (e^{k})

.

Somit erhält man

\ln (0, 9548) = k

Gruß

pivot

tobu01 aktiv_icon

10:50 Uhr, 19.07.2018

Vielen Dank für deine Hilfe.
Heißt das, das wenn ich den natürlichen Logarithmus nehme, dass dann automatisch das

x

im Exponenten verschwindet?

Respon

11:21 Uhr, 19.07.2018

Das

x

würde auch bei jedem anderen Logarithmus "verschwinden".

SmoothCriminal aktiv_icon

11:23 Uhr, 19.07.2018

"Heißt das, das wenn ich den natürlichen Logarithmus nehme, dass dann automatisch das

x

im Exponenten verschwindet?"

Jein, das ist ein Logarithmusgesetz, nämlich

log (a^{b}) = b \cdot log (a)

e^{x} = 5 | ln ()

\Rightarrow ln (e^{x}) = ln (5)

jetzt das Logarithmusgesetz..

\Rightarrow x \cdot ln (e) = ln (5)

mit

ln (e) = 1

\Rightarrow x = ln (5)

Du kannst Dir merken, dass

e

und

ln

sich auflösen, also etwa

e^{g (x)} = k

auf beiden Seiten

ln ()

\Rightarrow g (x) = ln (k)

PS: Das klappt nur, wenn

e

wirklich alleine ist. Bei

x \cdot e^{x} = 5

oder

x + e^{x} = 5

bringt der

ln

nichts mehr, denn weder

ln (x \cdot e^{x}) = ln (5)

\Rightarrow ln (x) + ln (e^{x}) = ln (5)

\Rightarrow ln (x) + x = ln (5)

führt zu einer Lösung, noch

ln (x + e^{x}) = ln (5)

bzw. mit erst rübergebrachtem

x

e^{x} = 5 - x

\Rightarrow ln (e^{x}) = ln (5 - x)

\Rightarrow x = ln (5 - x)

tobu01 aktiv_icon

12:16 Uhr, 19.07.2018

Vielen Dank, ich habe es nun hinbekommen. Natürlich sollte man die Potenzgesetze auch nicht aus dem Kopf streichen :-D)

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