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Wie löst man diese Aufgabe zu Funktionsscharen?

Schüler Gymnasium,

Tags: Ableitung, Analysis, Funktion, Funktionsschar

sue12345 aktiv_icon

17:14 Uhr, 12.02.2012

Gegeben ist die Funktion fk(t)=

k \cdot (t - 15) \cdot e^{- 0,01 t} + k \cdot 15

Sie gibt die täglichen Verkaufszahlen eines Handys an

t =

Anzahl der Tage

k =

? Zur Frage was

k

angibt, habe ich noch keine logische Erklärung..

Die Firma erwirtschaftet einen Gewinn wenn sie täglich mehr als

4500

Handys verkauft.
Berechnen sie die Länge des Zeitraums in dem ein Gewinn erwirtschaftet wird, für

k = 200

Also

y = 4500

und

k = 200

Erstmal hab ich diese Werte in die Funktion eingesetzt und wusste nach der Vereinfachung dieser nicht mehr weiter.Hier ist mein Rechenweg:

fk(t)

= k \cdot (t - 15) \cdot e^{- 0,01 t} + 200 \cdot 15

4500 = 200 \cdot (t - 15) \cdot e^{- 0,01 t} + 200 \cdot 15

4500 = (200 t - 3000) \cdot e^{- 0,01 t} + 3000

4500 =

200te^(-0,01t)

- 3000 e^{- 0,01 t} + 3000 | - 4500

0 =

200te^(-0,01t)

- 3000 e^{- 0,01 t} - 1500

Wie komme ich jetzt an das

t

ran ?
Um das

e

wegzubekommen muss ich die gegenoperation

ln

durchführen..aber wie behandle ich den Vorfaktoren

200 t

? Oder liege ich mit meiner Überlegung ganz falsch ?

AUFGABENTEIL

B)

Hier soll der Zeitpunkt berechnet werden an dem die Verkaufsanzahl maximal wird.
Das ganze für

k = 200

Dann habe ich erstmal die Funktion, dachdem Einsetzen von

k = 200,

abgeleitet

fk(t)

= (200 t - 3000) \cdot e^{- 0,01 t} + 3000

Ableitung:

f' k (t) = 200 \cdot e^{- 0,01 t} - 0,01 e^{- 0,01 t}

Dann die hinreichende Bedingung

f' k (t) = 0

um die Extrempunkte ermitteln

0 = 200 \cdot e^{- 0,01 t} - 0,01 e^{- 0,01 t} | ln

Dann habe ich direkt mit dem

ln

umgeformt

0 = 5.3 \cdot (- 0,01 t) - 4.6 \cdot (- 0,01 t)

0 = - 0,05 t + 0,046 t

0 = - 0,04 t

Diese Zahl scheint mir falsch zu sein,deshalb hab ich auch nicht weitergerechnet.
Wie muss man denn rechen, damit man hier auf ein richtiges Ergebnis kommt ?

AUFGABENTEIL

C)

Zeigen Sie, dass der Zeitpunkt , zu dem die Verkaufzahl maximal ist, unabhängig von

k

ist.

Da müsste man doch einfach die den Rechenweg zum Maximum nur mit einem anderen Wert für

k

berechen, wobei man theoretisch dasselbe Ergebnis erhalten müsste.

Oder eher

k

ganz rauslassen und so das Maximum berchenen.
Ich bin mir nicht ganz sicher welcher Überlegung richtig ist, oder ob beide für die Tonne sind..

AUFGABENTEIL

D)

Hier soll gezeigt werden, dass der Funktion fk(t)=

k \cdot (t - 15) \cdot e^{- 0,01} + k \cdot 15

zufolge
die Verkaufszahlen für alle

k > 0

ständig sinken, nachdem die maximale Verkaufszahl erreicht wurde.

Hier stehe ich völlig auf dem Schlauch.
Eine spontane Idee wär, den Hochpunkt in die Funktion einzusetzen und diese dann nach

k

aufzulösen, dann müsste eigentlich

- k

herauskommen.
Oder liege ich da völlig falsch ?

Ich freue mich auf jede Rückmeldung.
Danke für Eure Hilfe im voraus!

LG

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pleindespoir aktiv_icon

20:52 Uhr, 12.02.2012

k=? Zur Frage was k angibt, habe ich noch keine logische Erklärung..

Das liegt in der Natur der Sache bei kaufmännischen Rechnungen - die Annahmen sind meist unrealistisch und vollkommen an den Haaren herbeigezogen, daher ist jeglicher Suche nach logischen Erklärungen vergebens.

k ist ganz einfach irgendein Parameter, um die Formel interessanter zu gestalten.

---

Die Schnittpunktbestimmung der Funktion mit einer geraden (Mindestverkaufsmenge) lässt sich algebraisch nicht bestimmen, weil es sich um eine sog. Transzendente Funktion handelt. Hier helfen nur numerische Verfahren.

---

Das Maximum ist unabhängig von k, weil k ein konstanter Faktor ist, den man vor die gesamte Funktion ziehen kann.

Die Ableitung behält diesen konstanten Faktor natürlich und wenn man die Nullstelle der Ableitung sucht, ist es völlig wurscht, was k ist, weil die Lage der Nullstelle sich nicht durch den Vorfaktor verändert.

0=k*0

---

Nach dem Maximum fällt der Umsatz, weil die Ableitung keine weitere Nullstelle mehr aufweist und daher bis zur Unendlichkeit negativ bleibt. Ein Ansteigen der Funktion bei negativer Steigung (Ableitung) ist eher unmöglich.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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