Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wie löst man diese Aufgaben zum Thema Ähnlichkeit?

Wie löst man diese Aufgaben zum Thema Ähnlichkeit?

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Tags: Ähnlichkeit, Aufgaben, löst

gtgtgt aktiv_icon

11:16 Uhr, 19.04.2012

Hallo

Hier habe ich wieder einmal ein paar schwierige Aufgabe (für mich) nun zum Thema Ähnlichkeit :

1. Die Flächeninhalte zweier ähnlicher Dreiecke verhalten sich wie 81 : 25. Ihre Umfänge unterscheiden sich um 16 cm. Berechne die Umfänge u und u'.

Ich bin soweit gekommen: 81 : 25 =3.24 = Längenverhältnis

Nun hab ich immer weiter das versucht: 17 * 3.24 - 17, 16 * 3.24 - 16 bis ich etwas in der nähe von einem Umfang von 16 cm kam doch es gibt sicher eine genauere und schnellere mathematische Methode oder?

2. Gegeben ist das Dreieck ABC mit Strecke AC = b = 3cm und Strekce BC = a = 6cm. Im Dreieck ABC schneidet die Winkelhalbierende w Gamma die Seite AB im Punkt D. Der Flächeninhalt des Teildreiecks DBC beträgt 9cm2.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

Hier weiss ich das : ha = 3cm weil da das Dreieck DBC auch die Seite a beinhaltet die ich kenne also hab ich 9cm2 * 2 : 6cm = 3cm = ha

3. und 4. diese Aufgaben sind als Datei angehängt.

Vielen Dank im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Strahlensatz und Ähnlichkeit

Edddi aktiv_icon

11:47 Uhr, 19.04.2012

...ich mach dir mal die 1:

Während die Umfänge liniear anwachen, so wächst die Fläche quadratisch an.

Verdoppelt sich

z . B

. der Umfang, so vervierfacht sich die Fläche.

Es gilt also

A ~ U^{2}

Und somit:

\frac{A_{2}}{A_{1}} = \frac{U_{2}^{2}}{U_{1}^{2}} \Rightarrow \frac{81}{25} = \frac{9^{2}}{5^{2}} \Rightarrow \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{9}{5}

U_{2} - U_{1} = 16 \Rightarrow U_{2} = 16 + U_{1}

kannst du einsetzen:

\frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{9}{5}

\frac{16 + U_{1}}{U_{1}} = \frac{9}{5}

U_{1} = . .

.

dann noch daraus

U_{2}

und fertig!

;-)

Bummerang

12:56 Uhr, 19.04.2012

Hallo,

bei der zweiten Aufgabe stimmen entweder die Zahlen nicht oder als Ergebnis wird erwartet, dass man zeigt, dass ein solches Dreieck ABC nicht existiert. Den Beweis, dass es nicht existiert führt man

z . B

. so:

Die winkelhalbierende

γ

liegt zwischen den beiden Seiten a und

b

und schneidet deshalb die Seite

c

ZWISCHEN den Punkten A und

B,

also liegt

D

zwischen A und B. Sei nun

g_{a}

die Gerade durch die Punkte

B

und

C,

dann seien die Punkte

L_{A}

und

L_{D}

die beiden dem Index entsprechenden Lotfußpunkte von A bzw.

D

auf

g

. Die Punkte

A, D, B, L_{A}

und

L_{D}

ergeben zusammen mit den Strahlen von

B

durch A und

L_{A}

und den Geraden durch A und

L_{A}

und durch

D

und

L_{D}

eine Strahlensatzfigur. Aus der Lage von

D

ZWISCHEN A und

B

ergibt sich unmittelbar, dass die Länge des Lots durch A größer ist, also die Länge des Lots durch

L,

weil der Abstand von A zu

B

größer ist als der von

D

zu B. In dem Dreieck ABC ist die Länge des Lots von A auf

g

gleich der Höhe über der Seite

b,

also

h_{b} = : h_{A}

. In dem Dreieck DBC ist die Länge des Lots von

D

auf

g

gleich der Höhe über der Seite

\bar{B C},

also

h_{D}

. In dem Dreieck DBC gilt:

9cm^2

= \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{D} \Rightarrow h_{D} =

3cm

Das aber heißt:

h_{b} = h_{A} > H_{D} =

3cm

Jetzt bilden die Punkte

A, C

und

L_{A}

ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypothenuse die Seite

\bar{A C} = b =

3cm ist. Die Hypothenuse ist die größte Seite, demzufolge muß sie größer als die Länge der Seite

\bar{A L_{A}} = h_{A} =

3cm sein. Das ist ein Widerspruch, einerseits muß

b

als Hypothenus des Dreiecks

A C L_{A}

größer als 3cm sein, andererseits ist

b

mit genau 3cm vorgegeben. Damit existiert ein solches Dreieck nicht und man kann davon auch keinen Flächeninhalt berechnen.

Matlog aktiv_icon

13:23 Uhr, 19.04.2012

Bummerang hat vollkommen Recht!
In Aufgabe

2)

gibt es ein solches Dreieck nicht.

Wenn man aber den Flächeninhalt des Dreiecks DBC auf beispielsweise

4,5

qcm absenkt, dann müsste sich doch wieder eine sinnvolle Aufgabe ergeben, oder?

Bummerang

13:32 Uhr, 19.04.2012

Hallo Matlog,

aber genau das ist doch die Frage: Stimmen die Angaben oder stimmen sie nicht? Hier sich irgendwelche möglichen Zahlen auszudenken, gehört zur großen Kategorie des Kaffeesatzlesens und Glaskugelschauens.

Matlog aktiv_icon

13:39 Uhr, 19.04.2012

Hallo Bummerang,

natürlich ist das nicht unsere Aufgabe, die Aufgabenstellung sinnvoll abzuändern!
Aber ich glaube zu erkennen, dass die Aufgabe mit einem Flächeninhalt unter 6 qcm sehr wohl einen Sinn macht.

Die Unmöglichkeit bei 9 qcm ergibt sich auch schon daraus, dass das Gesamtdreieck einen Flächeninhalt

\leq 9

qcm haben muss (mit einem Teildreieck 9 qcm groß).

Edddi aktiv_icon

07:25 Uhr, 20.04.2012

...warum sollte es ein Dreick, wie in

2)

beschrieben nicht geben?

Ich geh' davon aus. das: "...Hier weiß ich dass

h_{a} = 3 c m

..." keine zwingende Vorgabe, sondern eher eine "Vermutung" des Fragestellers ist.

ausgehend von der Winkelhalbierenden

w

hab ich mal 2 Möglichkeiuten konstruiert, nun müsste man schaun, ob das Verhältnis der beiden Teilflächen des jeweiligen Dreiecks auch konstant sind, um eine eindeutige Aussage für die Gesamtfläche zu treffen.

...für den Extremfall,

γ \to π

ergäbe sich ein

2 : 1

Verhältnis, welches bei Konstanz für alle Dreiecke gelten müsste.
Somit wäre die Gesamtfläche

9 c m^{2} + 4,5 c m^{2} = 13,5 c m^{2}

[

EDIT]
...hab's im AutoCad überprüft, und die Flächen verhalten tatsächlich

2 : 1

...der rechn. Beweis steht noch aus, bin nur knapp dran...

;-)

Bummerang

07:33 Uhr, 20.04.2012

Hallo Edddi,

niemand hat behauptet, dass es kein Dreieck gibt, bei dem zwei Seiten 6cm und 3cm lang sind und die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite in einem Punkt

D

schneidet. Allerdings ist es unmöglich, dass dieses Dreieck BCD einen Flächeninhalt von 9cm^2 hat. Da das aber die Vorgabe war und das Dreieck gesucht ist, kann das Dreieck nicht existieren!!! Es kommt gar nicht auf das Verhältnis der beiden Teilflächen an, ob es konstant ist oder nicht, es kommt allein darauf an, dass die Teilfläche eine echte Teilfläche ist und das gesuchte Dreieck eine Fläche von maximal 9cm^2 hat. Damit hat das Teildreieck eine Fläche, die kleiner als 9cm^2 haben muß! Aber das wurde ja bereits auf zwei Wegen beschrieben, wenn Du Dir mal die Mühe machen würdest diese beiden Wege nachzuvollziehen, wirst Du entweder feststellen, dass das Dreieck nicht existiert oder Du wirst an der einen oder anderen Stelle eine Rückfrage haben. Aber pauschal zu sagen, dass das nicht stimmt (und genau das tust Du mit der Frage: "...warum sollte es ein Dreick, wie in

2)

beschrieben nicht geben?") ist der falsche Weg!

PS: Du hast noch mal editiert! Gut! Es kommt nicht auf das Verhältnis an, es kommt auf den Absolutwert der Fläche an und die ist immer kleiner als 9cm^2

!!!!!!!!

Ich hoffe, dass Du das jetzt endlich begreifst!

Edddi aktiv_icon

07:36 Uhr, 20.04.2012

...oh sorry, Bummerang, dies hab' ich garnicht so für voll genommen...aber du musst ja nicht gleich so "angepisst" sein!

Weise mich einfach auf den Fehler hin und gut! Ich gesteh' ja auch meinen Fehler ein.

Ein einfacher Hinweis darauf genügt vollkommen. Ich hab's halt einfach überlesen und in meinem Kopf geisterte nur die doppelte Länge der Seite a gegenüber der Seite

b

rum.

;-)

Bummerang

08:33 Uhr, 20.04.2012

Hallo,

in der Aufgabenstellung kann man schon mal was überlesen, aber wenn zwei herausfinden, dass die Zahlen nicht zusammenpassen, dann sollte man vor der Infragestellung derer Ergebnisse erst einmal deren Begründungen lesen! Und dann noch die 9cm^2 zu überlesen oder deren Wichtigkeit zu übersehen, das ist schon sehr schwierig und eigentlich nur möglich, wenn man sie gar nicht gelesen hat! Sorry, aber wenn Dir meine Begründung zu lang zum Lesen war, die Antwort von Matlog war kurz und (abgesehen von seiner Zustimmung) nur 2 Zeilen lang und da steht nicht mehr drin, als dass man durch Verringerung des Flächeninhalts wieder eine sinnvolle Aufgabe erhalten müßte. Wenn Du das tatsächlich gelesen hast, ist es mir schleierhaft, wie Du dann die Wichtigkeit der Flächenangabe "überlesen" haben willst!

Im übrigen gelten Deine Worte auch für mich: "Weise mich einfach auf den Fehler hin und gut! Ich gesteh' ja auch meinen Fehler ein." Aber statt mir (oder besser uns, Matlog und mich) auf einen (konkreten) Fehler hinzuweisen, kommst Du mit Gegenbehauptungen und editierst dann sogar noch nach, dass der rechnerische (Gegen-) Beweis kurz vor der Vollendung steht. Halt Dich demnächst an Deine eigenen Worte und es wird bei späteren Fehlern auch nur "ein einfacher Hinweis" von meiner Seite kommen!

Edddi aktiv_icon

08:47 Uhr, 20.04.2012

...ein letzter Beitrag von mir:

mit "...bin nur knapp dran..." meinte ich nicht, dass der Beweis fast fertig ist, sondern, dass ich keine Zeit habe den rechn. Beweis zu führen.

Fazit:

Es gibt kein solches Dreick, wie in Aufgabe 2 beschrieben, den für

a = 3

und

b = 6

liegt der

max

. Flächeninhalt für das Teildreieck bei:

h_{b} = a \cdot sin (γ)

A_{G} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a \cdot sin (γ)

A = \frac{2}{3} \cdot A_{G} = \frac{1}{3} \cdot b \cdot a \cdot sin (γ)

A' (γ) = \frac{1}{3} \cdot b \cdot a \cdot cos (γ) = 0 \Rightarrow γ = π

A = \frac{1}{3} \cdot b \cdot a \cdot sin (π) = \frac{1}{3} \cdot a \cdot b = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 6 = 6

Dies ist die

max

. Fläche des Teildreiscks für die gegebenen a und

b

bei

γ = π

;-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

994323

993981

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?