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Wie löst man inhomogene eulersche DGL?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

karl-erik aktiv_icon

15:16 Uhr, 22.05.2011

Hi,
folgende BEispielaufgabe verstehe ich ab einem gewissem schritt nicht mehr. KAnn mir jemand helfen? Brauche nämlich dringend ein Beispiel um ähnliche Aufgaben zu lösen.

DGL:

x^{3} y''' - x^{2} y'' +

2xy'

+ 2 y = x^{3}

Berechnung der Nullstellen vom Polynom (mit

x = e^{t}) :

a (a - 1) (a - 2) - a (a - 1) + 2 (a - 1) = 0

Nullstellen:

zweifache Nullstelle bei

a 1, 2 = 1

einfache NS

a 3 = 2

Den nächsten Schritt verstehe ich nicht mehr. Wie ist er auf diese lin. DGL gekommen?

Als lineare DGL haben wir:

y''' (t) - 4 y'' (t) + 5 y' (t) - 2 y (t) = e^{3} t

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

16:50 Uhr, 22.05.2011

Hallo,

man muß da aufpassen, daß man mit den Ableitungsstrichen nicht durcheinander kommt. In der oberen Differentialgleichung bedeuten die Striche Ableitungen nach

x

und in der unteren Differentialgleichung Ableitungen nach

t

. Deshalb schreibe ich die obere Differentialgleichung mal in der folgenden Form:

x^{3} \cdot \frac{d^{3}}{{d x}^{3}} y (x) - x^{2} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} y (x) + 2 \cdot x \cdot \frac{d}{d x} y (x) + 2 y (x) = x^{3}

Durch die Substitution

x = e^{t}

ist

y

nun von

t

abhängig

(y = y (t))

. Mit der Kettenregel berechnen wir nun

\frac{d}{d t} y (t) = \frac{d}{d x} y (x) \cdot \frac{d x}{d t} = \frac{d}{d x} y (x) \cdot e^{t} = \frac{d}{d x} y (x) \cdot x

(wegen

\frac{d x}{d t} = e^{t} = x),

also
I:

x \cdot \frac{d}{d x} y (x) = \frac{d}{d t} y (t)

Nun leiten wir I wieder nach

t

ab (mit Produkt- und Kettenregel):

\frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) = \frac{d x}{d t} \cdot \frac{d}{d x} y (x) + x \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} y (x) \cdot \frac{d x}{d t} = e^{t} \cdot \frac{d}{d x} y (x) + e^{t} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} y (x) \cdot e^{t} = x \cdot \frac{d}{d x} y (x) + x^{2} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} y (x)

Wir ersetzen

x \cdot \frac{d}{d x} y (x)

durch I

\Rightarrow

\frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) = \frac{d}{d t} y (t) + x^{2} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} y (x) \Rightarrow

II:

x^{2} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} y (x) = \frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) - \frac{d}{d t} y (t)

Nun noch mal II nach

t

ableiten:

\frac{d^{3}}{{d t}^{3}} y (t) - \frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) = 2 \cdot x \cdot \frac{d x}{d t} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} y (x) + x^{2} \cdot \frac{d^{3}}{{d x}^{3}} y (x) \cdot \frac{d x}{d t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} y (x) + e^{3 t} \cdot \frac{d^{3}}{{d x}^{3}} y (x) =

2 \cdot x^{2} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} y (x) + x^{3} \cdot \frac{d^{3}}{{d x}^{3}} y (x)

x^{2} \cdot \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} y (x)

ersetzen wir durch II und wir erhalten:

\frac{d^{3}}{{d t}^{3}} y (t) - \frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) = 2 \cdot (\frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) - \frac{d}{d t} y (t)) + x^{3} \cdot \frac{d^{3}}{{d x}^{3}} y (x) \Rightarrow

III:

x^{3} \cdot \frac{d^{3}}{{d x}^{3}} y (x) = \frac{d^{3}}{{d t}^{3}} y (t) - \frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) - 2 \cdot (\frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) - \frac{d}{d t} y (t)) = \frac{d^{3}}{{d t}^{3}} y (t) - 3 \cdot \frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) + 2 \cdot \frac{d}{d t} y (t)

Nun ersetzen wir die Ableitungen nach

x

in der ersten Differentialgleichung durch die Ableitungen nach

t

gemäß I, II und III und erhalten:

(\frac{d^{3}}{{d t}^{3}} y (t) - 3 \cdot \frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) + 2 \cdot \frac{d}{d t} y (t)) - (\frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) - \frac{d}{d t} y (t)) + 2 \cdot (\frac{d}{d t} y (t)) + 2 \cdot y (t) = e^{3 t}

Nun noch die Ableitungen zusammenfassen:

\frac{d^{3}}{{d t}^{3}} y (t) - 4 \cdot \frac{d^{2}}{{d t}^{2}} y (t) + 5 \cdot \frac{d}{d t} y (t) + 2 \cdot y (t) = e^{3 t}

Was noch nicht passt, ist das Vorzeichen vom Term

2 y

. In der oberen Differentialgleichung steht

+ 2 y

und in der unteren Differentialgleichung

- 2 y

. In einer der beiden Differentialgleichungen ist das Vorzeichen falsch.

Viele Grüße
Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

17:21 Uhr, 22.05.2011

- 2 y

müsste richtig sein. Das paßt zu den angegebenen Nullstellen.

Viele Grüße
Yokozuna

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