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Wie numerisch berechnen?
Universität / Fachhochschule
Tags: annähern, Numerik, Strecke
 
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Hallo! Ich habe eine Numerik-Aufgabe bekommen, und ich finde irgendwie keinen Ansatz? Inhaltlich befinden wir uns im Moment bei Iterationsverfahren, also Nullstellenberechnung, Newtonverfahren etc. Die Aufgabe lautet so, dass ich eine Funktion gegeben habe, und von der dann im Intervall bis sozusagen sie Länge der Funktion berechnen soll. Also die Funktion soll eine Strecke darstellen, und ich soll die Länge der Strecke berechnen (mit einer bestimmten Fehlergenauiigkeit). Die Funktion sieht so aus: Kann mir da vllt jemand auf die Sprünge helfen, wie man da anfängt? Danke!! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Moina! Die Aufgabenstellung ist nicht wirklich klar formuliert. Daher erstmal die Bitte um Klarstellung: Beschreibt die Funktion eine Länge (z.B. in Abhängigkeit einer Zeit oder sonstwas) und Du sollst die Änderung dieser Länge im Intervall bestimmen? Die Rechnung wäre recht simpel mit . Oder sollst Du die Bogenlänge der Funktion im Intervall ermitteln? Dann ist es unerheblich, was für eine Art von Zusammenhang die Funktion eigentlich beschreibt. Anschaulich gesprochen ist die Bogenlänge die Strecke, die Du zurücklegst, wenn Du auf dem Funtkionsgraphen (wie auf einer Straße) entlang fährst und seinem Verlauf folgst. Die Bogenlänge einer Funktion im Intervall berechnet sich folgendermaßen: Was willst/sollst Du berechnen? Gruß - Kalle. |
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Ich soll die Bogenlänge berechnen :-) Danke für die Formel, aber wie genau kommt man darauf? Weil ich soll das ja wahrscheinlich mit irgendetwas lösen, was wir schon behandelt haben und begründen, warum das dann gilt oder so? Heute Nacht hatte ich zB die Idee, dass ich die Funktion ja irgendwie mit der Mittelpunktsregel annähern könnte, und dann für die Intervalle, in denen die Funktion dann mit einer linearen Funktion angenähert wird, einfach die Länge der Funktion mit dem Satz des Phytagoras berechnen könnte? Aber da käme ich dann auch nicht mehr weiter... Wie gesagt, wenn du vllt noch mehr zu der Formel schreiben könntest, wär das super :-) |
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Deine nächtliche Idee ist im Prinzip fast genau das, wie man die Bogenlänge in der Schulmathematik meistens herleitet. Dafür ein Sternchen! ;o) Allerdings zieht man nicht die Mittelpunktsregel oder ein anderes Näherungsverfahren heran, sondern die Differenzial- und Integralrechnung. Ich formuliere das mal hoffentlich allgemein verständlich ohne zu viel formelles Zeug: Man betrachtet zunächst nur ein kleines Stück des Kurvenbogens zwischen den Punkten und . Dieses kleine Kurvenstück, dessen Länge erstmal klein aber egal sei, ist nun in der Tat stets die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten parallel zu den Koordinatenachsen liegen (genau wie beim Steigungsdreieck einer Geraden). Mit dem Pythagoras gilt also: und nach aufgelöst und leicht umgeformt: . Wenn wir nun den Kurvenbogen zwischen den Punkten und in unendlich viele kleine Stücke unterteilen, geht die Länge eines einzelnen gegen Null. Die Summe aller dieser ist das Integral dieses Terms in den Grenzen , nach : . Das Integral auf der linken Seite ist die gesuchte Bogenlänge: und der Bruch in der quadratischen Klammer unter der Wurzel ist offensichtlich die Ableitung der Funktion nach : . Damit haben wir: q.e.d. q.e.d. Soweit klar? Eine etwas andere Herleitung findet man z.B. auf matheplanet.com aber leider ist der Link so unendlich lang, daß er den Thread hier sprengt. Ich schicke Dir eine Nachricht damit. Gruß - Kalle. |
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"Heute Nacht hatte ich zB die Idee, dass ich die Funktion ja irgendwie mit der Mittelpunktsregel annähern könnte, und dann für die Intervalle, in denen die Funktion dann mit einer linearen Funktion angenähert wird, einfach die Länge der Funktion mit dem Satz des Phytagoras berechnen könnte?" Genau so geht es! |
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Danke, jetzt ist mir schon einiges klarer! :-) Dann heißt das also, dass ich die Funktion in die Bogenmaß-Formel einsetze und dann das Integral mit einer Methode meiner Wahl annäher. Das dürfte ich hinkriegen :-) Danke nochmal an alle! :-) |
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Mmmh, nicht ganz! In der Formel kommt ja die erste Ableitung vor und nicht die Funktion selbst. Du musst also die erste Ableitung einsetzen. Und wieso das Integral annähern? In der Regel kannst Du das Integral mit den bekannten analytischen Mitteln ganz normal berechnen - da wird nichts angenähert. Je nach Anforderung tauchen vielleicht schwierigere Integranden auf, die man besonders behandeln muss, aber mit Annäherung hat das normaler Weise nichts zu tun. Gruß - Kalle. |
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Ja das stimmt wohl aber ohne die Annäherung versteh ich nicht, was die Aufgabe mit dem Stoff zu tun hat, den wir behandelt haben? Weil wir haben schwerpunktmäßig Nullstellenberechnung und Integrale annähern gemacht, und in der Aufgabe steht ja, dass ich ich das Ergebnis annähernd berechnen soll? Wenn ich die Formel nehme und da dann die Ableitung einsetze und das Integral berechne, dann habe ich ja das exakte Ergebnis? |
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Achso! Ihr habt noch gar nicht richtig Integrieren gelernt, sondern seid erst am Anfang des Themas? Dann führt man in der Tat erstmal Näherungsrechnungen aus - Stichwörter Unter- und Obersumme, Trapezregel, manchmal auch noch Simpsonregel. Im Zuge der Lehrplanstraffung in der Schule fällt das aber mittlerweile häufig weg, was zur Folge hat, daß die Schüler oft gar nicht verstehen, was sie da eigentlich machen. Da Du diesen Thread in der Kategorie Uni/FH eingestellt hast, ging ich davon aus, daß Du schon alle Integrationsregeln (aus der Schule) kennst. Wenn Du also das Integral noch nicht analytisch bestimmen kannst und/oder die Aufgabenstellung die näherungsweise Berechnung fordert, nimmst Du in der Tat ein Näherungsverfahren Deiner Wahl bzw. was vorgeschrieben ist. Die Ableitung kannst Du bestimmen? Gruß - Kalle. |
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