Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wie oft kommt die 6 bei 1 bis 6 Würfeln vor?

Wie oft kommt die 6 bei 1 bis 6 Würfeln vor?

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik

tommy40629 aktiv_icon

18:50 Uhr, 23.08.2014

Hi,

in einer Aufgabe liegen 6 Würfel auf dem Tisch.
Man würfelt im Uhrzeigersinn und und notiert die gewürfelten Augen.

Jeder Spieler darf wählen, ob er mit 1,2,3,...,allen 6 Würfeln würfelt.

Die Augen werden nur gezählt, wenn keiner der Würfel eine 6 anzeigt.

Wie hoch sind die Wahrscheinlichkeiten, das bei der Benutzung von einem, zwei, usw. oder allen Würfeln, eine oder mehrere 6-er dabei sind?

Lösungsversuch:
Um alle Möglichkeiten auszurechen nutzt man Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge.

Lösung für einen Würfel:

Bei einem Würfel gibt es 6 Möglichkeiten (im Folgenden MK.).
Die Wahrscheinlichkeit für diese eine 6 ist

\frac{1}{6}

.

Lösung für 2 Würfel:

Bei 2 Würfeln gibt es 21 MK.
Es gibt eine MK für 2 Sechser.
Die Wahrscheinlichkeit für 2 Sechser ist

\frac{1}{21}

.
Jetzt gibt es noch die Möglichkeiten, wo der 1. Würfel eine 6 und der 2. Würfel die Ziffern von 1 bis 5 anzeigt. Das sind 5 MK.
Also gibt es 6 MK, für eine oder 2 Sechser. Die Wahrscheinlichkeit ist

\frac{2}{7}

.

Lösung für 3 Würfel:
Hier gibt es 28 MK.
Möglichkeiten, wenn der 1. Würfel eine 6 und die anderen 2 Würfel irgend etwas anzeigen sind 21 MK.
Also 21 MK für eine oder mehr Sechser. Die Wahrscheinlichkeit liegt dann bei rund 75%????? Richtig??

Lösung für 4 Würfel:
Es gibt 36 MK.
Wir halten den ersten Würfel mit einer 6 fest und berechnen alle Möglichkeiten für 3 Würfel, das waren 28 MK.
Also haben wir 28 MK für eine oder mehr Sechser. Das sind 78%.
.
.
.
.
Lösung für 6 Würfel:
Es gibt 55 MK.
45 MK, das ein Würfel eine 6 und die anderen Würfel irgend etwas würfeln.
Also 45 MK das man eine bis 6 Sechser würfelt. Das ist eine Wahrscheinlichkeit von 82%.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

michael777 aktiv_icon

18:53 Uhr, 23.08.2014

bei zwei Würfeln gibts insgesamt

6^{2} = 36

Möglichkeiten
wie bist du auf die

21

gekommen?

die Wahrscheinlichkeit für eine Doppel 6 ist

\frac{1}{36}

die Wahrscheinlichkeit für genau eine 6 ist

\frac{10}{36}

die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 6 ist

\frac{11}{36}

tommy40629 aktiv_icon

19:03 Uhr, 23.08.2014

Weil wir doch hier Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge haben.

(\binom{n + k - 1}{k})

Oder sehe ich das falsch?

tommy40629 aktiv_icon

19:36 Uhr, 23.08.2014

Ich habe mir verrechnet.

Man muss ja immer mit der Formel:

(\binom{n + k - 1}{k})

rechnen.

Also ab 3 Würfel hält man immer einen Würfel fest, dieser zeigt eine 6 an und berechnet die Möglichkeiten für die restlichen Würfel.

[6],[?],[?]

(\binom{6 + 2 - 1}{2}) = 21

Möglichkeiten für EINE Sechs und 2 weitere beliebige Ziffern.

Würfel----Möglichkeiten
3------------21
4------------56
5------------126
6------------252

pleindespoir aktiv_icon

19:44 Uhr, 23.08.2014

Also ich versuche es mal mit der Gegenwahrscheinlichkeit:

Die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel KEINE 6 zu würfeln, liegt bei

\frac{5}{6}

Die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfeln KEINE 6 zu würfeln, liegt bei

(\frac{5}{6})^{2}

Die Wahrscheinlichkeit mit drei Würfeln KEINE 6 zu würfeln, liegt bei

(\frac{5}{6})^{3}

Die Wahrscheinlichkeit mit vier Würfeln KEINE 6 zu würfeln, liegt bei

(\frac{5}{6})^{4}

Die Wahrscheinlichkeit mit fünf Würfeln KEINE 6 zu würfeln, liegt bei

(\frac{5}{6})^{5}

Die durchschnittlich zu erwartende Punktzahl beträgt bei einem Würfel

\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3

Die durchschnittlich zu erwartende Punktzahl beträgt bei zwei Würfeln

6

Die durchschnittlich zu erwartende Punktzahl beträgt bei drei Würfeln

18

Die durchschnittlich zu erwartende Punktzahl beträgt bei vier Würfeln

24

Die durchschnittlich zu erwartende Punktzahl beträgt bei fünf Würfeln

30

Das wahrscheinliche Ergebnis bei n Würfeln ist daher:

W_{n} = {(\frac{5}{6})}^{n} \cdot 3 n

Zusatzfrage:

Mit wievielen Würfeln ist der Erwartungswert am grössten ?

tommy40629 aktiv_icon

19:47 Uhr, 23.08.2014

Ich würde sagen, mit

n -

Würfeln.

pleindespoir aktiv_icon

19:55 Uhr, 23.08.2014

"Ich würde sagen, mit n - Würfeln."

Darf ich diese Antwort zur Antwort des Monats nominieren ?

Hast du überhaupt im Entferntesten folgen können, was ich darzustellen versucht habe ?

tommy40629 aktiv_icon

13:28 Uhr, 24.08.2014

Nee, gestern konnte ich dem nicht mehr Folgen.

Mit

n

meinte ich möglichst viele Versuche.

Deine Erklärung sieht irgendwie nach "Produktregel der Kombinatorik" aus, das hatte ich noch nicht.

Ich kenne nur die Summenregel.

tommy40629 aktiv_icon

10:41 Uhr, 10.09.2014

Man muss halt die Wahrscheinlichkeit für die 6 bei 1,2,3,..6 Würfeln berechen.

Wenn die 6 ein Treffer ist, dann berechnen wir die WK's für einen Treffer bei 1,2,3,...,6 Würfeln.

Und vergleichen dann. Ohne das Wissen über die Pfadregel und weiteres Wissen aber echt schwer zu rechnen.

MurksVomOrk aktiv_icon

15:47 Uhr, 10.09.2014

War/ist nicht (mehr) schwer. Die Formel für die "durchschnittlichen Punkte pro Runde" hat dir pleindespoir vorgegeben (

W_{n} = . . .

). Am besten nachvollziehen!
(Er/sie nutzt dabei durchschnittliche Augenzahl und (durchschnittliche) Chance auf "keine 6". Dank der Tatsache, dass es in allen anderen Fällen keine Punkte gibt, ist die Formel kürzer. Gut, man muss erstmal auf die Formel kommen. -> vielleicht schon ein wenig schwer...)

Die Frage war nur noch: Wann ist

W_{n}

für den würfelnden Spieler optimal? = wieviele Würfel sollte man verwenden? = wann ist der Wurf im Schnitt möglichst gut?

(alle n einsetzen, die einzelnen Ergebnisse ausrechen und vergleichen - ruhig auch mit 7,8,.. Würfeln pro Wurf! Könnte interessant werden. )

1184073

1181185

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?