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Wie rechne ich das maximale Zylindervolumen aus?

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgaben

Vicky-Maus aktiv_icon

16:23 Uhr, 10.05.2008

Hi Leute!
Bin ganz neu hier... Hab mich hier angemeldet, weil ich öfters mal Probleme habe mit paar Aufgaben...
Habe eine Mathehausaufgabe auf, mit der ich nicht so ganz gut umgehen kann...
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

Ein Behälter

(z . B

. ein Überraschungsei) kann enstanden gedacht werden durch Rotation zweier Kurven

K 1

und

K 2

um die

x -

Achse.

K 1

und

K 2

werden durch folgende Gleichungen beschrieben:

K 1 : f 1 (x) = 2 \cdot

Wurzel

x

0<gleich x<gleich 4 (wie des schreiben geht weiß ich auch net

=))

K 2 : f 2 (x) =

Wurzel aus

24 - 2 \cdot x

4<gleich x<gleich

12

(Ich weiß nicht, wie man die Wurzel schreibt)

Im Behälter liegt ein Zylinder, dessen Grundkreise die Kurven

K 1

und

K 2

berühren. Geben Sie das Volumen des Zylinders in Abhängigkeit von

x 1

an und bestimmen Sie das größte mögliche Zylindervolumen unter diesen Bedingungen.

Vielleicht wisst ihr ja wie die Aufgabe geht???
Ich weiß nur dass das Volumen des Zylinders die Extremalbedingung sein muss und die zwei Funktionsgleichungen die Nebenbedingungen sind...

=)

Vielleicht kann mir ja auch jemand von euch mal sagen wie man die Wurzel schreibt und das <gleich zeichen... ???
Liebe Grüße, Vicky
Danke im voraus

hagman aktiv_icon

19:12 Uhr, 10.05.2008

Ich vermute mal

f_{1} (x) = 2 \cdot \sqrt{x}

und

f_{2} (x) = \sqrt{24 - 2 \cdot x}

Der Zylinder ist vollständig gegeben durch zwei x-Werte

x_{1}, x_{2}

mit

0 < x_{1} < 4 < x_{2} < 12

und

f_{x_{1}} = f_{2} (x_{2})

. Der Radius

r

des Zylinders ist dann einfach

r = f_{1} (x_{1}) = f_{2} (x_{2})

und die Höhe ist

h = x_{2} - x_{1}

.
Zu maximieren ist

V = π \cdot r^{2} \cdot h

.

Zunächst folgt aus

f_{1} (x_{1}) = f_{2} (x_{2}),

dass

2 \cdot \sqrt{x_{1}} = \sqrt{24 - 2 \cdot x_{2}}

\Rightarrow 4 \cdot x_{1} = 24 - 2 \cdot x_{2}

\Rightarrow x_{2} = 12 - 2 \cdot x_{1}

Damit wird

V = π \cdot r^{2} \cdot h

= π \cdot f_{1} {(x_{1})}^{2} \cdot (x_{2} - x_{1})

= π \cdot 4 x_{1} \cdot (12 - 3 x_{1})

= 12 \cdot π \cdot x_{1} \cdot (4 - x_{1})

= 12 \cdot π \cdot (2 - (2 - x_{1})) \cdot (2 + (2 - x_{1}))

= 12 \cdot π \cdot (4 - {(2 - x_{1})}^{2})

= 48 \cdot π - 12 \cdot π \cdot {(2 - x_{1})}^{2}

.
Es gilt also

V \leq 48 \cdot π,

wobei Gleichheit genau für

x_{1} = 2

erreicht wird.

Antwort also: Das größte mögliche Zylindervolumen unter diesen Bedingungen ist

48 \cdot π

Vicky-Maus aktiv_icon

20:34 Uhr, 10.05.2008

Hey!
Dankeschön für deine Hilfe!!! Sehr lieb von dir!

Liebe Grüße, Vicky

Vicky-Maus aktiv_icon

11:24 Uhr, 11.05.2008

Ich hab mir alles gerade nochmal angeschaut und habe doch noch mal ne Frage:
Undzwar wie bist du denn von

4 \cdot x 1 = 24 - 2 \cdot x 2

auf

x 2 = 12 - 2 \cdot x 1

gekommen?
Dann noch etwas: Wie bist du beim Volumenausrechenen aus diese Zeile gekommen:

π \cdot 4 \cdot x 1 \cdot (12 - 3 x 1)

Ich versteh nicht woher du die

12 - 3 x 1

genommen hast für

x 1

und

x 2

?
Kann mir jemand Tipps geben???
Vicky

hagman aktiv_icon

11:58 Uhr, 11.05.2008

4 \cdot x_{1} = 24 - 2 \cdot x_{2} | : 2

\Leftrightarrow 2 \cdot x_{1} = 12 - x_{2} | + x_{2}

\Leftrightarrow 2 \cdot x_{1} + x_{2} = 12 | - 2 \cdot x_{1}

\Leftrightarrow x_{2} = 12 - 2 \cdot x_{1}

Es ist

f_{1} (x_{1}) = 2 \cdot \sqrt{x_{1}},

also

f_{1} {(x_{1})}^{2} = {(2 \cdot \sqrt{x_{1}})}^{2} = 4 \cdot x_{1}

Weiter folgt aus

x_{2} = 12 - 2 \cdot x_{1},

dass

x_{2} - x_{1} = (12 - 2 \cdot x_{1}) - x_{1} = 12 - 3 \cdot x_{1}

gilt
Insgesamt daher

V = π \cdot {f (x_{1})}^{2} \cdot (x_{2} - x_{1}) = π \cdot 4 x_{1} \cdot (12 - 3 x_{1})

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