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Wie rechne ich mit der h-Methode?

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: h-methode

DeniseRot aktiv_icon

17:52 Uhr, 18.02.2009

Könnte mir einer bitte so ausführlich wie möglich erklären wie und bei welchen Fällen genau man die h-methode anwendet??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode

Akonia

18:07 Uhr, 18.02.2009

die h-Methode verwendet man, um die erste ableitung von einer funktion zu bestimmen.
die erste ableitung wird benötigt, um aussagen über die steigung der funktion an bestimmten stellen machen zu können. (auch um extrema, wendepunkt, etc. zu bestimmen werden ableitungen benötigt).

die h-methode ist eigentlich eine viel zu umständliche Methode um ableitungen zu bestimmen (allerdings kommt sie immer in der

11

. klasse dran^^).

ich rechne dir mal eine aufgabe vor:

gegeben ist eine funktion

f (x) = x^{2}

. bestimme die 1. ableitung dieser funktion.

h-methode:
(der strich hinter dem

f

bedeutet, dass es sich um die erste ableitung von

f

handelt

(f''

wäre dann die zweite ableitung...)

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{x + h - x}

die formel dürfte dir bekannt sein, die erklärung, warum die formel gerade so aussieht lasse ich jetzt erstmal weg (vllt. habt ihr das ja schon durchgenommen, oder es interessiert dich nicht so^^)... erstmal zum wichtigereren, die rechnung:

f (x + h)

bedeutet der funktionswert der funktion an der stelle

x + h;

du musst also um

f (x + h)

zu bekommen einfach

x + h

an stelle von

x (

in die funktion

f (x) = x^{2})

einsetzen:

\to f (x + h) = {(x + h)}^{2}

f (x)

ist einfach

x^{2},

also:

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}

[{(x + h)}^{2}

ist eine binomische formel, also

x^{2} + 2 x \cdot h + h^{2}]

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 x \cdot h + h^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{2 x \cdot h + h^{2}}{h}

[

nun lässt sich im zähler

h

ausklammern]

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot (2 x + h)}{h}

[

dieses ausgeklammerte

h

kürze ich nun mit dem

h

im nenner]

f' (x) = lim_{h \to 0} (2 x + h)

nun kommt der grenzwert

(lim)

ins spiel,

h

soll gegen 0 gehen, also kannst du für

h

null einsetzen (davor ging es noch nicht, da das

h

noch im nenner stand und durch 0teilen ist ja verboten):

f' (x) = 2 x

das ist die erste ableitung der funktion

f (x) = x^{2}

DeniseRot aktiv_icon

18:42 Uhr, 18.02.2009

hmm also ganz verstanden hab ichs irgendwie noch nicht.. wir haben es in der schole ganz anders ausgerechnet... hatt irgendjemand noch ein beispiel??
wär echt total nett

=)

Akonia

19:08 Uhr, 18.02.2009

beispiele gibt es massenhaft.

aber ich rechne dir nichts mehr vor, wenn ihr das eh anders gemacht habt.

hier ein paar funktionen mit ableitung, vllt kommst du ja darauf:

f (x) = \frac{1}{x} \to f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}

f (x) = 2 \cdot x^{2} + 3 \cdot x \to f' (x) = 4 \cdot x + 3

f (x) = \sqrt{x} \to f' (x) = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}}

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