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Wie soll dieser Beweis funktionieren?

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Tags: Beweis, Sonstig, Widerspruch?

 
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HerrElch

HerrElch aktiv_icon

14:48 Uhr, 05.12.2019

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Hi zusammen,
die Aufgabe an der ich gerade scheitere lautet so:

"Beweisen Sie ohne Wurzelziehen per Widerspruchsbeweis:
Für alle n ∈ ℕ gibt es höchstens ein m ∈ ℕ mit: m^2 ≤ n < (m+1)^2."

Ich habe dies so umgesetzt:
Für alle m1, m2 ∈ ℕ gilt: m1^2 ≤ n < (m1+1)^2 und m2^2 ≤ n < (m2+1)^2 und m1 ≠ m2.

Nun wollte ich die Aussage für den Widerspruchsbeweis negieren, also so:
Es existiert m1, m2 ∈ ℕ gilt: m1^2 > n ≥ (m1+1)^2 oder m2^2 > n ≥ (m2+1)^2 oder m1 = m2.

Leider habe ich es nun nicht geschafft zu zeigen, dass diese Aussage genau nicht gilt, wie es für einen Widerspruchsbeweis nötig wäre.
Habe ich etwas falsch gemacht? Wer kann mir hierbei helfen?

Danke und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

15:28 Uhr, 05.12.2019

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> Ich habe dies so umgesetzt:
> Für alle m1,m2∈ℕ gilt: m12≤n<(m1+1)2 und m22≤n<(m2+1)2 und m1≠m2.

Was hat das mit der Behauptung eines eindeutigen m zu tun???

Womöglich meinst du eher folgende Behauptung:

Für alle m1,m2∈ℕ mit m12≤n<(m1+1)2 und m22≤n<(m2+1)2 folgt m1=m2.

Und die würde man per Widerspruchsbeweis so beweisen: Angenommen, es gibt solche m1,m2 mit m1≠m2. Dann können wir o.B.d.A. m1<m2 annehmen, das bedeutet dann aber auch m1+1≤m2, was wegen

n<(m1+1)2≤m22≤n

einen Widerspruch darstellt.
Frage beantwortet
HerrElch

HerrElch aktiv_icon

15:52 Uhr, 05.12.2019

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Dankeschön. :-)