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Wie viele 1-dimensionale Unterräume hat (Zmod3)^4

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Unterraum, Vektorraum

 
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lightningz

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18:22 Uhr, 12.01.2020

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Aufgabe als Bild angehangen.

Die Lösung ist 40. Aber Ich bekomme nicht heraus warum

Annotation 2020-01-12 182122
Antwort
michaL

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18:41 Uhr, 12.01.2020

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Hallo,

Vielleicht nehmen wir mal keinen so großen VR.
Wir betrachten vielleicht mal nur V:=32.
Wie viele Elemente hat V?
Kannst du die mal alle aufschreiben?

Mfg Michael
lightningz

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18:50 Uhr, 12.01.2020

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Lösung im Bild

WhatsApp Image 2020-01-12 at 18.48.38
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michaL

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19:20 Uhr, 12.01.2020

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Hallo,

gibt es einen guten Grund, dass die erste Komponente nicht 2 werden darf?

Mfg Michael
lightningz

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19:22 Uhr, 12.01.2020

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Nein, card(V)=9 :-)

Ich könnte das natürlich so auch für dim=3 machen aber Ich wüsste gerne einen schnelleren Weg
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michaL

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19:25 Uhr, 12.01.2020

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Hallo,

und wie viele (eindimensionale) Unterräume gibt es hier?

Bitte am besten hier die dazu gehörigen Vektoren aufschreiben, damit ich mir nicht Hals verrenken muss.

Mfg Michael
lightningz

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19:31 Uhr, 12.01.2020

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Ehrlich gesagt, weiß Ich es nicht
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michaL

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19:37 Uhr, 12.01.2020

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Hallo,

sind ja nur 9 Vektoren. Das lässt sich doch überblicken, oder nicht?

Mfg Michael
lightningz

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19:41 Uhr, 12.01.2020

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Es scheitert daran, dass Ich nicht weiß wie man die Unterräume aus den Vektoren bekommt. Ich könnte mir es erklären wenn es 6 Unterräume sind. Aber Ich weiß nicht ob das richtig ist. Dann wären die ersten drei Unterräume die, wo x1=0,1 oder 2 ist und die anderen Drei die, wo x2=0,1 oder 2 ist.
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michaL

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20:10 Uhr, 12.01.2020

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Hallo,

ah, dann hast du noch nicht verstanden, was ein Unterraum ist.
Dann wird es natürlich schwierig, die Aufgabe zu lösen.
Nehmen wir doch mal den Vektor (10).
Ist er in dem von ihm aufgespannten Vektorraum das einzige Element?

Du kannst natürlich auch so dich über Unterräume, Basen und Dimensionen informieren. Wenn man das verstanden hat, ist die Aufgabe eigentlich sehr einfach.

Mfg Michael
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ermanus

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20:18 Uhr, 12.01.2020

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Hallo,
bedenke, dass ein 1-dim. Unterraum aus den skalaren Vielfachen eines Vektors 0
besteht. Vielleicht kommst du damit weiter ...
Gruß ermanus
lightningz

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20:29 Uhr, 12.01.2020

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Der Vektor (0,1) kann folgende generieren: (0,0)(0,1)(0,2) Wenn Ich ihn mit 0,1 oder 2 multipliziere
Antwort
ermanus

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20:32 Uhr, 12.01.2020

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Das ist richtig. Sei nun v0V ein beliebiger Vektor eines Vektorraumes
über 3. Wieviele Vektoren enthält der von diesem Vektor
erzeugte 1-dim. Unterraum?
lightningz

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20:35 Uhr, 12.01.2020

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Drei?
Antwort
ermanus

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21:46 Uhr, 12.01.2020

Antworten
Genau, und nur zwei sind 0.
Welche Vektoren liegen im Durchschnitt zweier verschiedener 1-dimensionaler
Unterräume?
Antwort
ermanus

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22:32 Uhr, 14.01.2020

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Hallo,
nachdem der Fragesteller keine weitere Reaktion auf meine
"zielführenden" Fragen gezeigt hat, soll doch wenigstens der
interessierte "Rest" der Mitleser den Ausgang der Geschichte
erfahren. Wer diesen Thread verfolgt hat, wird ohne weiteres
folgende Aussage als hinreichend begründet empfinden:
Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen. Dann besitzt
der n-dimensionale Vektorraum Kn genau
qn-1q-1 eindimensionale Unterräume, d.i.
die Anzahl der Punkte im (n-1)-dimensionalen
projektiven Raum.
Gruß ermnaus
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