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Wie viele Elemente erzeugen multiplikative Gruppe?

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Körper

Tags: Gruppen, Körper, multiplikative gruppe, polynom

anonymous

08:31 Uhr, 28.01.2016

"Geben Sie alle Elemente des Körpers

K =

GF(3)

[

/ x^{2} + 1

an. Wie viele Elemente des Körpers

K

erzeugen seine multiplikative Gruppe?"

Also falls ich es richtig verstanden habe, müssten die Elemente von

K

doch folgende sein:

{0, 1, 2, x, 2 x, x + 1, x + 2, 2 x + 1, 2 x + 2}

Wie finde ich raus wie viele davon die multiplikative Gruppe erzeugen? Enthält die multiplikative Gruppe die gleichen Elemente wie K? Bin gerade etwas verwirrt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

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08:38 Uhr, 28.01.2016

"Wie finde ich raus wie viele davon die multiplikative Gruppe erzeugen?"

Was sagt die Theorie dazu?

"Enthält die multiplikative Gruppe die gleichen Elemente wie K?

Außer

0

anonymous

08:51 Uhr, 28.01.2016

"Was sagt die Theorie dazu?"

Keine Ahnung, dazu hab ich nichts gefunden. Außer du meinst, was ein erzeugendes Element überhaupt ist. Das weiß ich, aber ich könnte jetzt höchstens durchprobieren und dann die Elemente zählen mit denen ich dann auf alle Elemente von

K

(ohne

0)

komme. Aber ich kann mir vorstellen das geht auch einfacher..

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09:06 Uhr, 28.01.2016

Ich kann mir nicht vorstellen, dass Ihr in der Vorlesung nichts darüber hattet.
Es gibt zum Beispiel diesen Satz:
"die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist zyklisch".
(Z.B. der Satz 4.3.2 hier:
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~shoeppne/Algebra%20(SS2010)/Skript/algebra_koerper_4-3.pdf)
Das gibt Dir sofort die Antwort auf die Frage "wie viele Elemente..."

anonymous

11:06 Uhr, 28.01.2016

Also laut Wikipedia:
"Eine zyklische Gruppe kann mehrere Erzeuger haben. Die Erzeuger von

Z

sind

+ 1

und

- 1,

die Erzeuger von

\frac{Z}{n} Z

sind die Restklassen, die teilerfremd zu

n

sind; ihre Anzahl

ϕ (n)

wird von der Eulerschen φ-Funktion angegeben."

Worauf soll ich denn die Eulersche Funktion anwenden? Ich hab doch Polynome und nicht einfach nur Zahlen von

z . B

0 - 10

? Ich versteh's gerade gar nicht.

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11:16 Uhr, 28.01.2016

"Worauf soll ich denn die Eulersche Funktion anwenden? "

Zu welchem Zweck willst Du sie überhaupt anwenden?
Wenn Du einen Erzeuger finden willst, geht es bei kleinen Gruppen am einfachsten durch Rumprobieren. Dabei ist klar, dass

1

und

2

nicht in Frage kommen, aber mit

x

kann man schon anfangen:

x^{2} = 2

x^{3} = x \cdot x^{2} = 2 x

usw. (nicht vergessen, dass hier Modulo

x^{2} + 1

gerechnet wird!)

"Ich hab doch Polynome und nicht einfach nur Zahlen "

Das spielt übrigens keine Rolle.

anonymous

09:05 Uhr, 30.01.2016

Naja, das mit dem Durchprobieren hab ich doch vorgeschlagen und dann nach einer anderen Methode gefragt. Deine Antwort wirkte dann so als gäbe es eine.

Wie dem auch sei,

1, 2, x

und

2 x

hatte ich ausgeschlossen, weil ich damit nicht auf die ax+b Terme kommen kann.

x + 1, x + 2, x^{2} + 1

und

x^{2} + 2

hab ich dann durchgerechnet und wenn ich keine Rechenfehler drin habe, sollten das die einzigen 4 Erzeuger der multiplikativen Gruppe sein.

Stimmt das so?

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13:05 Uhr, 30.01.2016

Ich glaub schon.

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