 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Wie viele Kombinationen gibt es für 7 Sockenpaare?
Wie viele Kombinationen gibt es für 7 Sockenpaare?
Universität / Fachhochschule
Tags: Kombinatorik
 
|
  |
|---|
|
Kim hat 7 Sockenpaare in 7 verschiedenen Farben. Zu Beginn der Woche liegen alle Socken einzeln in der Schublade. Jeden Morgen zieht Kim blind 2 Socken heraus, bis für den Sonntag genau noch ein Paar übrig bleibt (also Ziehen ohne Zurücklegen). Wie viele „verschiedenartige“ Wochen gibt es? Also wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Zusammenstellung von 7 Paaren? Dabei spielt es keine Rolle, wie die Reihenfolge der Paare ist (also an welchem Tag welches Paar gezogen wurde). Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Gemischte Aufgaben der Kombinatorik Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen |
|
 |
|
> Dabei spielt es keine Rolle, wie die Reihenfolge der Paare ist (also an welchem Tag welches Paar gezogen wurde). Macht die Sache leider nicht einfacher. Auf die Tippeltappeltour durch alle Fälle komme ich summa summarum auf verschiedene Zerlegungen der 14 Socken in 7 Tagespaare. Zum Vergleich: Wären es 14 jeweils voneinander unterscheidbare Einzelsocken zur Auswahl, dann wäre die Zerlegungsanzahl gleich gewesen. oeis.org/A002135 |
 |
|
Wow. Herzlichen Dank. Ich weiss, ich habe zwar nur nach dem Ergebnis gefragt, mich würde der Weg trotzdem sehr interessieren. Wäre es irgendwie möglich, ihn hier hochzuladen? |
|
|
|
Oh, das ist mir heute zu stressig zu erklären, weil es enthält sehr viele Details. Schau dir den OEIS-Link an, die haben es zwar anders gemacht als ich, aber vielleicht ist irgendeine Erklärung davon passend für dich. |
|
|
|
Absolut kein Problem, nochmals vielen Dank! |
|
|
Die angehängten Fotos sind mein Versuch. Bist du auch so vorgegangen? Oder gibt es einen schnelleren und einfacheren Weg? Liebe Grüsse Kim   |
|
|
|
Dein Zugang ist wohl auf der OEIS-Seite angeführt, aber meine Vorgehensweise war völlig anders: Ich habe alle Permutationen nach ihrer Zerlegung in Zykelschreibweise typisiert. A) kein Zykel der Länge : : 1 : 21 : 105 : 105 B) genau ein Zykel der Länge : : 70 : 210 : 504 : 840 : 720 : 420 : 630 : 504 : 210 C) genau zwei Zykel der Länge : : 280 : 420 Summa summarum ergibt sich in diesen Fällen folgende Permutationsanzahlen A) 232 B) 4108 C) 700 insgesamt natürlich . Warum gerade diese Typisierung? Nun, jede Permutation aus A) entspricht einer Sockenverteilung, während bei B) jeweils zwei Permutationen einer Sockenverteilung entsprechen (indem man das eine Zykel der Länge in der Reihenfolge umkehrt!). Bei C) entsprechen dann schon vier Permutationen einer Sockenverteilung (beide Zykel können - getrennt voneinander - jeweils in der Reihenfolge umgekehrt werden). Das ergibt dann Sockenverteilungen. Wie du siehst, auch kein angenehm kurzer Weg, wobei ich nicht mal im Detail eingegangen bin, wie man in den Einzelfällen von A)B)C) die Permutationsanzahlen dort berechnet - ist nicht schwer, aber doch viel Klein-Klein. Wenn man geschickt vorgeht, kann man sich die vielen Fälle B) allerdings auch sparen, und die Anzahl durch Differenzbetrachtung aus den einfacher ermittelbaren Anzahlen von A),C) ermitteln. Dennoch ist es natürlich eine gute Kontrolle, wenn man B) doch so ausführlich wie ich oben durchrechnet. ;-) P.S.: Auf der OEIS-Seite steht eine interessante Iterationsformel für die Anzahl bei insgesamt Sockenpaaren: für mit den Startwerten . Ich habe bisher nicht darüber nachgedacht, wie die zustande gekommen ist, d.h., wie man die begründen kann. Aber wenn man das hinkriegt, wäre das sicher schon mal ein eleganterer Weg als die obige mühsame Vorgehensweise, und auch dein Weg war ja nicht gerade schmerzfrei. |
1578797
1578680