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Wie viele Lösungen gibt es?

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NoFearOfFainting

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23:37 Uhr, 09.09.2021

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Guten Tag,

a,b,c seien Konstanten.

a+xb+y=c

Wie kriege ich raus, wie viele Lösungen es für x und y geben kann?

Ließe sich eine Regel auch für a+xb+y...n+k=c mit zusätzlich n als Konstante für alle x,y,...,k verallgemeinern?

Besten Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Respon

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23:42 Uhr, 09.09.2021

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I.d.R. inendlich viele.
NoFearOfFainting

NoFearOfFainting aktiv_icon

23:46 Uhr, 09.09.2021

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Ups, war ja falsch...

a,b,c seien Konstanten.

(a+x)⋅(b+y)=c

Wie kriege ich raus, wie viele Lösungen es für x und y geben kann?

Ließe sich eine Regel auch für (a+x)⋅(b+y)⋅...⋅(n+k)=c mit zusätzlich n als Konstante für alle x,y,...,k verallgemeinern?

Besten Dank!

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Respon

Respon

23:50 Uhr, 09.09.2021

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Du hast eine Gleichung und n Unbekannte.
I.d.R. kann man dann n-1 Unbekannte mit einem frei gewählten Wert belegen und dadurch die n- te Unbekannte berechnen.
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supporter

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04:46 Uhr, 10.09.2021

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a+xb+y=c

y=c-a-(bx)=-bx-a+c

mit c-a=k ergibt sich:

y=-bx+k

Graphisch handelt es sich um unendlich viele Punkte auf unendlich vielen Geraden.

Die Geraden haben die Steigung m=-b, die aus den Ursprungsgeraden y=-bx durch Verschiebung um k-Einheiten in y-Richtung hervorgehen.
Die Lösungspaare kann man nur uín Abhängigkeit von den Konstanten a,b,c angeben.

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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

07:21 Uhr, 10.09.2021

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Womöglich geht es ja um eine Diophantische Gleichung, d.h. nur um die ganzzahligen Lösungen x,y, bei gegebenen ebenfalls ganzzahligen Parametern a,b,c ? Ist c0, dann ist die Lösungsmenge dieser Diophantischen Gleichung tatsächlich endlich.

In dem Fall bestimmt die Primfaktorzerlegung von c maßgeblich die Lösungsmenge, insbesondere auch deren Größe.

Beispiel: (3+x)(2+y)(7+z)=72 hat wegen 72=2332 genau (52)(42)22=240 ganzzahlige Lösungstripel (x,y,z). Die Werte 3,2,7 links spielen dabei keine Rolle - die kommen erst ins Spiel, wann man etwa nur nach der Anzahl der POSITIVEN Lösungstripel fragt.


EDIT (13.9.21): Anscheinend geht es wohl doch nicht um die ganzzahligen Lösungen. Eigentlich schade, denn das ist die Variante, wo hier die Frage nach der Anzahl der Lösungen noch den meisten Sinn ergibt.