Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wie viele Schnittpunkte gibt es ? Löse das Rätsel.

Wie viele Schnittpunkte gibt es ? Löse das Rätsel.

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Kombinatorik, Sonstig

Matheskills aktiv_icon

21:38 Uhr, 11.07.2016

Hallo liebe Matheprofis!

Gegeben haben wir

n

Geraden in einer Ebene.

Davon sind keine zwei parallel und keine drei haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Wie viele Schnittpunkte gibt es?

Ansatz: zwei Geraden sind parallel oder identisch oder haben einen Schnittpunkt-> also gibt es mind. 2 Geraden die sich schneiden-> die 3. Gerade ist zu keiner der anderen parallel-> also

n \cdot \frac{n - 1}{2}

????

\to

das ist mein Ansatz durchschaut habe ich ihn leider nicht wirklich

Ich bitte euch dringend um Hilfe.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Roman-22

21:59 Uhr, 11.07.2016

>

Ansatz: zwei Geraden sind parallel,identisch oder haben einen Schnittpunkt
??? KEINE zwei Geraden sind

... .

. !

>

also gibt es mind. 2 Geraden die sich schneiden->
Nein. Nicht wenn

n = 0

oder

n = 1

ist.

>

die 3. Gerade ist zu keiner der anderen parallel-> also n⋅n-12 ????
Na, nur aus der dritten Geraden folgt das wohl nicht, oder.

Aber das Ergebnis

\frac{n \cdot (n - 1)}{2} = (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})

ist richtig.

Du kannst die Aufgabe kombinatorisch angehen - je zwei Geraden schneiden einander (weil nicht ident oder parallel) und jeder dieser Schnittpunkte ist eindeutig diesen beiden Geraden zuordenbar (weil keine weiteren Geraden durch diesen Punkt gehen). Daher reduziert sich die Aufgabe auf die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus

n

Geraden zwei auszuwählen.

Oder aber du kannst deine Vermutung, dass

A n z a h l (n) = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}

ist auch leicht durch vollständige Induktion beweisen.

R

Matheskills aktiv_icon

22:03 Uhr, 11.07.2016

Vielen Dank für die bisherige Hilfe :-)
ich studiere unter anderem Mathematik für die Grundschule. Das ist für mich als Laie wirklich alles andere als einfach, deshalb fehlen mit die Erkenntnisse für die richtigen Begründungen. Kannst du mir erklären wie ich das kombinatorisch lösen kann?

: 0

Matheskills aktiv_icon

22:10 Uhr, 11.07.2016

Also wir haben zwei Geraden die sich schneiden oder identisch sind, da keine zwei parallel sind und keine drei einen gemeinsamen Schnittpunkt haben?

Roman-22

22:13 Uhr, 11.07.2016

>

Also wir haben zwei Geraden die sich schneiden oder identisch sind, da keine zwei parallel sind und keine drei einen gemeinsamen Schnittpunkt haben?
Wir haben doch eine unbestimmte Anzahl

(n)

von Geraden!?

>

Kannst du mir erklären wie ich das kombinatorisch lösen kann?
Das hab ich doch eigentlich oben schon bereits vollständig ausgeführt!
Wenn dir die Begriff Binomialkoeffizient und "Kombination ohne Wiederholung" (siehe zB www.mathebibel.de/kombination-ohne-wiederholung etwas sagen, musst du nur mehr in die Formel einsetzen. Falls nicht, steht dir der kombinatorische Zugang nicht zur Verfügung.

Deine Aufgabe ist gleichbedeutend mit der Frage, wie oft die Gläser klirren wenn beim Toast jeder mit jedem anstößt (insgesamt

n

Personen).

R

Matheskills aktiv_icon

22:17 Uhr, 11.07.2016

mhm ich glaube ich verstehe schon alleine die Formulierungen " keine zwei Geraden sind parallel" und "keine drei Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt" nicht

\frac{:}{}

mathe-mitch aktiv_icon

22:23 Uhr, 11.07.2016

n = 0 \Rightarrow

keine Schnittpunkte

n = 1 \Rightarrow

keine Schnittpunkte

n = 2 \Rightarrow

ein Schnittpunkt

Ab hier nutzen wir aus, dass keine 3 Geraden sich in einem Punkt schneiden,

d . h

die 3tte Gerade muss die ersten beiden schneiden.

n = 3 \Rightarrow 1

Schnittpunkt aus

n = 2

plus 2 neue Schnittpunkte

= 3

n = 4 \Rightarrow 3

Schnittpunkte die man bereits hatte

+ 3

neue , da die 4te Gerade die ersten 3 schneiden muss, also 6 Schnittpunkte.

Und so weiter :

n = 5 \Rightarrow 6 + 4 = 10

n = 6 \Rightarrow 10 + 5 = 15

SP

Irgendwann erkennst Du eine gewisse Regelmäßigkeit und kommst auf die Formel oder kannst es per Induktion allgemein beweisen.

Roman-22

22:25 Uhr, 11.07.2016

>

mhm ich glaube ich verstehe schon alleine die Formulierungen " keine zwei Geraden sind parallel" und "keine drei Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt" nicht :
Das ist schlecht. Aber vielleicht fällt es dir mit der oben ergänzten Einkleidung mit dem Anstoßen leichter.

"Keine zwei Geraden sind parallel" (dh sie schneiden einander nicht) bedeutet in dieser Einkleidung, dass auch wirklich jeder mit jedem asntößt - es gibt keine zwei Personen, die einander nicht zuprosten.

"keine drei Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt" bedeutet hier, dass nicht drei Personen oder mehr gleichzeitig miteinander anstoßen. Denn dann könnten ja alle gemeinsam anstoßen und es "klirrt" nur einmal. Bei den Geraden: Wenn wir das nicht fordern, könnten ja alle Gerade durch ein und denselben Punkt laufen und es gibt (manchmal) bei

n

Geraden dann eben nur einen Schnittpunkt.

R

Matheskills aktiv_icon

22:30 Uhr, 11.07.2016

Vielen Dank :-) jetzt hat es so langsam Klick gemacht dank deiner beispielhaften Ausführung. Ich werde mir das jetzt noch paar mal durchlesen und versuchen auszuformulieren. Vielen Dank für deine Geduld.

Matheskills aktiv_icon

22:32 Uhr, 11.07.2016

Vielen Dank :-) so langsam hat es Klick gemacht dank deiner beispielhaften Ausführung. Ich werde mir das jetzt noch paar mal durchlesen und versuchen auszuformulieren. Vielen Dank für deine Geduld.

Matheskills aktiv_icon

22:32 Uhr, 11.07.2016

1316801

1316782

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?