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Wie viele Teiler hat die Zahl 1'000'000'000?

Schüler Maturitätsschule, 12. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik, Teiler

kickflip24 aktiv_icon

09:29 Uhr, 27.05.2008

Aufgabe: Wie viele Teiler hat die Zahl

1' 000' 000' 000

?

Lösung:

1' 000' 000' 000 = 10^{9} = 2^{9} \cdot 5^{9},

dh.

10 \cdot 10

Teiler

Dass man die Zahl faktorisieren (heisst das so?) muss, also in

2^{9} \cdot 5^{9}

umformen, leuchtet mir ja noch ein. Aber wie kommt man von hier zur Endlösung

10 \cdot 10

Teiler?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

pwmeyer aktiv_icon

09:40 Uhr, 27.05.2008

Hallo,

ein Teiler hat die Form

2^{n} \cdot 5^{m},

dabei kann

n = 0,1,2, ...,9

und

m = 0,1,2, . . 9

(unabhängig von

n

) sein. Also läßt sich jede Wahl für

n

mit eine Wahl für

m

kombinieren.

Gruß pwm

m-at-he

10:14 Uhr, 27.05.2008

Hallo,

Du solltest Dir folgende Regel fest einprägen:

n = p_{1}^{m_{1}} \cdot p_{2}^{m_{2}} \cdot ... \cdot p_{k}^{m_{k}}; n \in ℕ, p_{i}

sind Primzahlen mit

i = 1, ..., k \in ℕ

und

p_{i} \neq p_{j}

für

i \neq j, m_{i} \in ℕ

mit

i = 1, ..., k \in ℕ

und

m_{i} > 0

für alle

i

\Rightarrow

z = (m_{1} + 1) \cdot (m_{2} + 1) \cdot ... \cdot (m_{k} + 1)

ist die Anzahl der Teiler von

n

kickflip24 aktiv_icon

10:31 Uhr, 27.05.2008

Danke für die Antworten, jetzt muss ich nur noch die Regel irgendwie begreifen, soll heissen ich muss sie mal sauber aufnotieren und ne Weile anschauen... Super, Regeln sind immer gut! :) Jetzt hab ich gleich wieder was für den "Spickzettel"* für die Matura.

Aber @m-at-he: Hat es nicht noch einen Fehler in der Formel? Müsste es in der ersten Zeile der Formel nicht $p_{i}^{m_{k}}$ heissen statt $p_{k}^{m_{k}}$ ? Oder woher kommt sonst das i her von $p_{i}$ ?

*Keine Angst, wir dürfen 5 handgeschriebene Seiten mitnehmen...

m-at-he

11:17 Uhr, 27.05.2008

Hallo,

"Hat es nicht noch einen Fehler in der Formel? Müsste es in der ersten Zeile der Formel nicht

p_{i}^{m_{k}}

heissen statt

p_{k}^{m_{k}}

? Oder woher kommt sonst das

i

her von p_i?"

NEIN!!! Es gibt

k

verschieden Primzahlen in der (eindeutigen!!!) Primzahlzerlegung (sagen wir mal, aufsteigend sortiert). Diese Primzahlen sind die Zahlen

p_{1}, p_{2}, . .

, p_{k}

oder wenn man so stink faul ist wie ich, dann sind das die Zahlen

p_{i}

mit

i = 1, ..., k,

da muß man (ich hab' das mal nachgezählt) nur

17

Tasten drücken, bei der ausführlichen sind das

18

Tasten.

O . K

. nur eine Taste gespart, aber das wären sonst

5,88 %

mehr! Und wenn das

p_{1,2}^{m, n}

gewesen wären, wäre die Einsparung noch viel größer!

Damit ist auch klar, was das

i

(oder an einer Stelle auch das

j

sind: Es sind Variablen für den Index! Die Zahlen 1 bis

k

sind der Index der Primzahlen bzw. Exponenten und die

i

(bzw.

j

) sind die Variablennamen für diesen Index. Ist das so verständlich?

kickflip24 aktiv_icon

11:55 Uhr, 27.05.2008

Ja, danke, jetzt ist alles klar.

〉

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