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Wie viele Zahlen sind möglich?
Universität / Fachhochschule
Algebraische Zahlentheorie
Tags: Algebraische Zahlentheorie, möglichkeit, Ungerade, Wie viele, Zahl
 
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Hallo, ich studiere Lehramt mit Didaktikfach Mathe und schreibe in ein paar Tagen eine Klausur. Gerade rechne ich ein paar alte Klausuren und komme bei einem bestimmten Aufgabentyp nie zu einer Lösung. Wie gesagt, vom Typ her sind alle ähnlich - allerdings habe ich absolut keine Ahnung wie ich anfangen soll. Naja obwohl - ich habe schon mal mit dem Zeichnen begonnen - aber da würde ich ja 3 Tage dransitzen . Vielleicht kann mir ja jemand helfen? :-) Hier die Fragen: Welche ungeraden 5stelligen Zahlen kann mit mit den Ziffernkärtchen bilden? Warum unterscheiden sich diese Zahlen immer um ein Vielfaches von 2. Aus den Ziffern soll eine 6stellige Zahl gebildet werden, die auf endet. Wie viele Zahlen sind möglich? (Es müssen nicht alle Zahlen angegeben werden) Kinder der 4. Klsse sollen mit 3 Plättchen 4stellige Zahlen in einer Stellenwerttafel legen (keine führenden Nullen). Geben Sie an, welche Zahlen gelegt werden können. Welche Rolle spielen Dreieckszahlen bei der Ermittlung der Anzahl der Möglichkeiten? . da muss es doch irgendeinen Weg geben, mit welchem ich alle Aufgaben lösen kann oder? . Bin über jede Hilfe wirklich sehr sehr dankbar! :-) Liebe Grüße! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo, Wenn die 5-stellige Zahl ungerade sein soll, welche Ziffern können denn dann am Ende stehen? Bilde aus den restlichen 4 Ziffern alle möglichen 4-stelligen Zahlen, das sind nur . Denke daran, was der Rest einer Zahl bei der Division durch 9 und der Rest der Quersumme dieser Zahl bei der Division durch 9 gemeinsam haben und schließe daraus, welchen Rest alle mit darstellbaren Zahlen bei der Division durch 9 haben müssen und warum dann die Differenz immer durch 9 teilbar ist. 2. Da die Zahl auf endet, bleiben ja nur noch 4 Ziffern für die ersten 4 Stellen. Das ist eine simple Anordnung, bei der man noch nicht einmal sich wiederholende Ziffern beachten muss, da die einzige sich wiederholende Ziffer ein Mal an das Ende der Zahl zwangsgestellt wurde. Was sind Plättchen? Wie sehen die aus? Und wie kann man mit 3 Plättchen eine 4-stellige Zahl darstellen? Und ehrlich gesagt, wie eine Stellenwerttafel aussieht, weiss ich auch nicht mehr. Wenn verständlich ist, könnte ich mir vorstellen, dass ich auch diese Frage verstehe... |
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Hallo Bummerang, vielen Dank für die schnelle Antwort! :-) die zweite Aufgabe habe ich gerade noch einmal versucht zu lösen. Ich habe Möglichkeiten rausbekommen - kann das passen? An der letzten Stelle muss die Zahl 6 stehen, also gibt es ja nur eine Möglichkeit. An der vorletzten Stell muss die Zahl 3 stehen - auch hier gibt es demnach nur eine Möglichkeit. An den anderen Stellen gibt es jeweils 4 Möglichkeiten (da hier die Zahle oder eingesetzt werden können. . stimmt das? zur Aufgabe 1: Stimmt! danke für den Tipp - an der letzten Stelle muss natürlich die Zahl 7 stehen. an Kombinationen der restlichen Zahlen werde ich mich mal versuchen! aber woher weißt du denn so schnell, dass es nur sind? ist wahrscheinlich eine doofe Frage . aber ich komm nicht drauf. |
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Hallo, "An den anderen Stellen gibt es jeweils 4 Möglichkeiten (da hier die Zahle oder eingesetzt werden können. ---→4⋅4⋅4⋅4⋅1⋅1=256.... stimmt das?" Nein! Es stimmt noch, dass an der ersten Stelle jede der 4 Ziffern stehen kann, aber an der zweiten Stelle kann es nur noch eine der Ziffern sein, die nicht an erster Stelle steht! Wenn Du nun aber für die ersten zwei Stellen jeweils eine Ziffer ausgesucht hast, wieviele Möglichkeiten bleiben Dir dann für die dritte Stelle übrig? Und wie sieht es mit der vierten Stelle aus? "aber woher weißt du denn so schnell, dass es nur sind? ist wahrscheinlich eine doofe Frage . aber ich komm nicht drauf." Statistik Vorlesung, Kapitel Kombinatorik, Wird eine der ersten Vorlesungen gewesen sein... PS: Habe gerade mal gegoogelt und folgendes gefunden: kira.dzlm.de/kirafiles/uploads/doc/Plaettchen_in_der_Stellenwerttafel_3.klasse_%28Arbeitsblatt%29.pdf Darf man dann die Aufgabe 3 so verstehen, dass die Kinder 3 schwarze Punkte bekommen und diese in einer Stellenwerttafel mit 4 Feldern für T(ausender), H(underter), Z(ehner) und E(iner) legen sollen und keine führende Null auftreten soll?. Dann gibt es für die Tausenderstelle 3 Fälle: Fall 1: alle drei Plättchen liegen in der Stellenwerttafel im Tausenderfeld. Dann bleibt für die anderen Felder nichts übrig, die anderen Stellen sind Null. Einzige darstellbare Zahl: Fall 2: genau zwei Plättchen liegen in der Stellenwerttafel im Tausenderfeld. Dann bleibt für die anderen Felder nur ein Plättchen übrig, die anderen Stellen sind zwei Mal Null und ein Mal 1. Einzige darstellbare Zahlen: Fall 3: genau ein Plättchen liegt in der Stellenwerttafel im Tausenderfeld. Dann bleiben für die anderen Felder nur zwei Plättchen übrig, die man dann beliebig verteilen kann. Einzige darstellbare Zahlen: Alle darstellbaren Zahlen sind also ( aufsteigender Folge): Den Aufgabenteil überlasse ich Dir, die Dreieckszahlen sind ja bekannt, oder: . Nur so als Tip: 4-stellige Zahl, 4-te Dreieckszahl ist und anzahl der Lösungen ist . Spiele doch mal das Ganze mit 3-stelligen Zahlen nach. Kommst Du da nicht auch auf 6 Lösungen. Oder bei 2-stelligen Zahlen auf 3 Lösungen? Immer wenn man 3 Plättchen einsetzt ist das so... |
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siehe auch hier: http//www.matheboard.de/thread.php?threadid=558066 |
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Lieber Bummerang, vielen lieben Dank für deine Hilfe! Habe mir alle Aufgaben gerade noch einmal angeschaut und durchgerechnet! Hab es geschafft und finde es jetzt sogar mehr als logisch! Ich danke dir! :-) Ich habe nun noch einige Klausuraufgaben durchgerechnet und komme mittlerweile ganz gut zurecht. Das Problem ist nur, dass das Ergebnis nicht überprüft werden kann, da wir keine Lösungen zur Hand haben. Dürfte ich dich im folgenden Fragen, ob meine Ergebnisse richtig sind? Es handelt sich um Relationen und Funktionen . Habe nur die Aufgaben rausgesucht, bei welchen ich mir nicht sicher bin: 1. Prüfen Sie, ob folgende Situationen eine Funktion beschreiben (falls ja, prüfen Sie außerdem, die Umkehrrelation auch eine Funktion ist): Zu jeder Zahl bis wird das Paar der Nachbarzehner angegeben. (was ist hier mit "Paar der Nachbarzehner" gemeint? Ist . bei der Zahl die und die gemeint? falls ja, dann ist es eine Funktion oder? weil mit "Paar der Nachbarzehner" zwei Zahlen gemeint sind in diesem Fall also das Paar UND . wie würde es allerdings bei der Zahl 4 aussehen? Wären die Nachbarzehner hier 0 und ? Zu jeder Zahl bis werden die Zerlegungen in 2 Faktoren angegeben. hierbei handelt es sich um keine Funktion, weil es mehrere Zerlegungen (und somit also mehrere y-Werte) gibt . oder Zu jeder Zahl wird das Paar der Nachbarzehner angegeben. (wenn ich davon ausgehe, dass mit "Paar der Nachbarzehner" das gemeint ist, was ich unter beschreiben habe, dann handelt es sich auch hier um eine Funktion, oder? Allerdings ist die Umkehrfunktion keine Funktion, da die Nachbarzehner und mehreren Zahlen (x-Werten) zugeordnet werden können, nämlich . den Zahlen 6 und 7. Zu jeder Zahl wird das Paar der Nachbarhunderter angegeben. (auch hier handelt es sich meiner Meinung nach um eine Funktion) Die Kinder einer Klasse sollen Schätzungen über die Höhe des Schulhauses abgeben. meine Meinung nach handelt es sich nur um eine Funktion, wenn jedes Kind genau eine Stimme abgibt . Aus der Aufgabe wird nicht ersichtlich, ob jedes Kind eine Schätzung abgeben darf/muss. 2. Prüfen Sie, ob folgende Relation jweils eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation ist (nennen sie jeweils auch die Eigenschaften) Die Zahl hat mindestens so viele Ziffern wie die Zahl Reflexivität: funktioniert reflexiv Symmetrie: . nimmt man und so würde es funktionieren symmetrisch ; nimmt man allerdings und so würde es nicht funktionieren die Funktion wäre also nicht-symmetrisch . das Problem: ich soll angeben, ob es sich um eine Äquivalenzrelation oder um eine Ordnungsrelation handelt . Äquivalenzrelation: reflexiv, symmetrisch, transitiv strenge Ordnungsrelation: irreflexiv, antisymmetrisch, trasitiv nicht strenge OR: reflexiv, antisymmetrisch, transitiv würde also bei der Symmetrie die 2. Lösung stimmen ("nicht symmetrisch") dann wäre es ja weder eine OR noch eine ÄR? Die Zahl hat genauso viele Ziffern wie die Zahl reflexiv symmetrisch und transitiv ÄR Die Zahl hat mehr Ziffern als die Zahl irreflexiv antisymmetrisch transitiv strenge OR Die Zahl hat mit der Zahl genau eine Ziffer gemeinsam reflexiv symmetrisch transitiv ÄQ Das Buch hat mindestens so viele Seiten wie das Buch . symmetrisch ähnliches Problem wie unter . hier würde ich allerdings sagen, dass es eindeutig antisymmetrisch ist . transitiv nicht strenge OR |
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Lieber Bummerang, vielen lieben Dank für deine Hilfe! Habe mir alle Aufgaben gerade noch einmal angeschaut und durchgerechnet! Hab es geschafft und finde es jetzt sogar mehr als logisch! Ich danke dir! :-) Ich habe nun noch einige Klausuraufgaben durchgerechnet und komme mittlerweile ganz gut zurecht. Das Problem ist nur, dass das Ergebnis nicht überprüft werden kann, da wir keine Lösungen zur Hand haben. Dürfte ich dich im folgenden Fragen, ob meine Ergebnisse richtig sind? Es handelt sich um Relationen und Funktionen . Habe nur die Aufgaben rausgesucht, bei welchen ich mir nicht sicher bin: 1. Prüfen Sie, ob folgende Situationen eine Funktion beschreiben (falls ja, prüfen Sie außerdem, die Umkehrrelation auch eine Funktion ist): Zu jeder Zahl bis wird das Paar der Nachbarzehner angegeben. (was ist hier mit "Paar der Nachbarzehner" gemeint? Ist . bei der Zahl die und die gemeint? falls ja, dann ist es eine Funktion oder? weil mit "Paar der Nachbarzehner" zwei Zahlen gemeint sind in diesem Fall also das Paar UND . wie würde es allerdings bei der Zahl 4 aussehen? Wären die Nachbarzehner hier 0 und ? Zu jeder Zahl bis werden die Zerlegungen in 2 Faktoren angegeben. hierbei handelt es sich um keine Funktion, weil es mehrere Zerlegungen (und somit also mehrere y-Werte) gibt . oder Zu jeder Zahl wird das Paar der Nachbarzehner angegeben. (wenn ich davon ausgehe, dass mit "Paar der Nachbarzehner" das gemeint ist, was ich unter beschreiben habe, dann handelt es sich auch hier um eine Funktion, oder? Allerdings ist die Umkehrfunktion keine Funktion, da die Nachbarzehner und mehreren Zahlen (x-Werten) zugeordnet werden können, nämlich . den Zahlen 6 und 7. Zu jeder Zahl wird das Paar der Nachbarhunderter angegeben. (auch hier handelt es sich meiner Meinung nach um eine Funktion) Die Kinder einer Klasse sollen Schätzungen über die Höhe des Schulhauses abgeben. meine Meinung nach handelt es sich nur um eine Funktion, wenn jedes Kind genau eine Stimme abgibt . Aus der Aufgabe wird nicht ersichtlich, ob jedes Kind eine Schätzung abgeben darf/muss. 2. Prüfen Sie, ob folgende Relation jweils eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation ist (nennen sie jeweils auch die Eigenschaften) Die Zahl hat mindestens so viele Ziffern wie die Zahl Reflexivität: funktioniert reflexiv Symmetrie: . nimmt man und so würde es funktionieren symmetrisch ; nimmt man allerdings und so würde es nicht funktionieren die Funktion wäre also nicht-symmetrisch . das Problem: ich soll angeben, ob es sich um eine Äquivalenzrelation oder um eine Ordnungsrelation handelt . Äquivalenzrelation: reflexiv, symmetrisch, transitiv strenge Ordnungsrelation: irreflexiv, antisymmetrisch, trasitiv nicht strenge OR: reflexiv, antisymmetrisch, transitiv würde also bei der Symmetrie die 2. Lösung stimmen ("nicht symmetrisch") dann wäre es ja weder eine OR noch eine ÄR? Die Zahl hat genauso viele Ziffern wie die Zahl reflexiv symmetrisch und transitiv ÄR Die Zahl hat mehr Ziffern als die Zahl irreflexiv antisymmetrisch transitiv strenge OR Die Zahl hat mit der Zahl genau eine Ziffer gemeinsam reflexiv symmetrisch transitiv ÄQ Das Buch hat mindestens so viele Seiten wie das Buch . symmetrisch ähnliches Problem wie unter . hier würde ich allerdings sagen, dass es eindeutig antisymmetrisch ist . transitiv nicht strenge OR |
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Hallo, gehen wir das mal systematisch und in kleinen Happen an: 1. eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnungsvorschrift, . zu jedem Argument einer Funktion gibt es genau einen (Funktions-) Wert. Zu jeder natürlichen Zahl (und um die geht es hier auf dem Grundschulniveau wohl, gibt es genau einen Nachbarzehner der kleiner ist und einen der größer ist. Soweit ich es finden konnte, wird von 0 kein Nachbarzehner verlangt und von . werden die und die als Nachbarzehner hergenommen. Wenn das für alle natürlichen Zahlen gilt, dann gilt das insgesondere für alle natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich sind, so lange man das Paar der Nachbarzehner als zugeordneten Wert ansieht und festgelegt hat, dass der erste Wert des Paares der kleinere und der zweite Wert der größere Nachbarzehner ist. Es kommt hier also unbedingt auf die komplette Fragestellung an, in der auch festgelegt wird, wenn das nicht vorher allgemeingültig irgendwo anders festgelegt wurde, wie das Paar der Nachbarzehner auszusehen hat. Ist festgelegt, dass es (kleinerer, größerer) ist, dann ist das eine Funktion, ist nur festgelegt (einer von beiden, der andere), dann gibt es zwei Zuordnungen, nämlich auch die: (der andere, einer von beiden) und dann ist die Zuordnung nicht mehr eindeutig und deshalb keine Funktion mehr. Die Umkehrrelation ist natürlich keine Funktion, denn . alle Zahlen von bis liefern den selben Funktionswert. In der Umkehrrelation ist dem Paar kein eindeutiger Wert zuordbar. Hier ist die Eindeutigkeit in keinster Weise gegeben, denn selbst wenn es mathematisch nur eine Zerlegung in 2 Faktoren gibt . bei Primzahlen: 1 mal Primzahl selbst), ist die Reihenfolge in keinster Weise festgelegt. Das kann keine Funktion sein. Hier gilt alles aus die Beschränkung auf kleiner gleich bei ist nicht relevant für die Entscheidung, ob das eine Funktion ist oder nicht! Was für die Zehner in gilt, gilt analog für die Hunderter in . ob jedes Kind eine Stimme abgeben darf oder muss spielt . keine Rolle, das ändert nur den Definitionsbereich. Wenn man die Relation (Kind, seine Schätzung) betrachtet, dann ist die Zuordnung eindeutig, so lange nur maximal eine Schätzung abgegeben werden durfte. Dann ist das eine Funktion. Allerdings kann man allgemein keine Aussage treffen, ob da eine Umkehrrelation eine Funktion ist! Haben alle Kinder, die eine Schätzung abgegeben haben, zufällig unterschiedliche Höhen geschätzt, dann ist auch die Umkehrrelation eine Funktion. Haben aber wenigstens zwei Kinder die selbe Höhe geschätzt, dann ist die Umkehrrelation keine Funktion mehr. 2. Die Zahl hat mindestens so viele Ziffern wie die Zahl Klar ist das reflexiv Klar ist das transitiv Aber es unterliegt keiner Symmetrie! Weder folgt aus xRy, dass yRx ist, noch folgt aus xRy, dass yRx nicht sein darf, noch folgt aus xRy und yRx, dass ist Beispiele: aber nicht symmetrisch und nicht asymmetrisch und UND nicht antisymmetrisch Auch solche Relationen muss es geben... Die Zahl hat genauso viele Ziffern wie die Zahl Klar ist das reflexiv Klar ist das transitiv Und es ist symmetrisch, da die Anzahl der Ziffern gleich ist und somit die Werte eines Paares auch vertauscht werden können und das "vertauschte Paar" hat immer noch gleich Anzahl von Ziffern. Die Zahl hat mehr Ziffern als die Zahl Klar ist das irreflexiv Klar ist das transitiv Klar ist das antisymmetrisch, es ist sogar asymmetrisch Die Zahl hat mit der Zahl genau eine Ziffer gemeinsam Klar ist das reflexiv Klar ist das symmetrisch Aber es ist nicht transitiv! Beispiel: und aber nicht Das Buch hat mindestens so viele Seiten wie das Buch Hier gilt doch das selbe, wie bei der Anzahl der Ziffern einer Zahl! Klar ist das reflexiv Klar ist das transitiv Aber es unterliegt keiner Symmetrie! Nicht symmetrisch, weil es Bücher mit unterschiedlich vielen Seiten gibt und dann ist ein Paar in der Relation und das andere nicht! Nicht asymmetrisch, weil es Bücher mit gleich vielen Seiten gibt! Nicht antisymmetrisch, weil Bücher mit gleicher Seitenzahl nicht auch die gleichen Bücher sein müssen! |
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absolut perfekt erklärt, DANKE! :-) |
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