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Wie viele unterscheidbare Wörter gibt es?
Universität / Fachhochschule
Binomialkoeffizienten
Tags: Binomialkoeffizient
 
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Hallo allerseits, ich habe es mit folgender Aufgabe zu tun. Wie viele unterscheidbare Wörter mit mindestens 5 Buchstaben lassen sich aus den Buchstaben des Wortes AUFGABE bilden? Ich weiß schon mal, dass man die Anzahl der Wörter mit und 7 Buchstaben zusammenaddieren muss. Jedoch bin ich mir nicht sicher, welches kombinatorisches Modell in Frage kommt. Über Hilfe würde ich mich freuen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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www.mathebibel.de/permutation-mit-wiederholung |
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Tipp: Du wirst unterscheiden müssen, dass du Worte bilden können wirst mit 5 unterschiedlichen Buchstaben, mit 5 Buchstaben, davon zweimal das mit 6 unterschiedlichen Buchstaben, mit 6 Buchstaben, davon zweimal das mit (allen) 7 Buchstaben. Willst du mal? |
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5 unterschiedliche Buchstaben: 6 unterschiedliche Buchstaben: alle 7 Buchstaben: Ich verstehe einfach nicht wie man das doppelte a berücksichtigt. |
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"alle 7 Buchstaben", ja das ist eine Permutation mit Wiederholung. Die Wiederholung betrifft dieses 2-mal Buchstabe . Soweit so gut! :-) "6 unterschiedliche Buchstaben", das sind ja zwingend die Buchstaben . Ja, Permutation ohne Wiederholung. Gut! Edit:] Upps, oh nein!! Du hast geschrieben: "7*6*..." Wofür steht denn die 7 ? Willst du nochmals besser stellen? Jetzt 6 Buchstaben mit zweimal . Wenn es 6 Buchstaben sind, davon 2-mal "A", wie viele Buchstaben musst du dann noch wählen? Wie viele Buchstaben außer den hast du denn noch? Wie viele Möglichkeiten sind das denn, diese restlichen Buchstaben zu wählen. Schlussendlich hast du wiederum 6 Buchstaben, deren Reihenfolge du wild zusammenstellen kannst. Wieviele Möglichkeiten (aufgrund welchen Kombinatorik-Modells) sind das? Soweit mal dazu... Wenn du soweit bist, kannst du dir ganau auf die selbe Weise auch die 5-Buchstaben-Konstellationen überlegen. Wie weit kommst du? |
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Also, wenn ich 6 Buchstaben habe mit 2 "A" dann muss ich noch 4 Buchstaben wählen. Ich habe 5 andere Buchstaben zur Verfügung. Somit habe ich Möglichkeiten aus den 5 Buchstaben 4 auszuwählen. Müsste das dann Permutation mit Wiederholung sein? Also Möglichkeiten Bei 6 unterschiedliche Buchstaben müsste dann sein, richtig? |
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Wow, Möglichkeiten!?! Ich führe mal vor Augen: Du könntest für 4 sonstige Buchstaben aus der Auswahl wählen: BEFG BEFU BEGU BFGU EFGU Das sind übersichtlich 5 Möglichkeiten. Alles andere wäre inflationär. In anderen Worten: Du kannst für die Auswahl von 4 Buchstaben aus 5en einfach einen der fünfe abwählen. ...mit den beiden also: AABEFG AABEFU AABEGU AABFGU AAEFGU Jede einzelne dieser übersichtlich 5 Zeilen (Möglichkeiten) ist kombinatorisch eine . PS: Der Fall 'sechs unterschiedliche Buchstaben', das sind ja zwingend alle die 6 Buchstaben . Und ja, eine Permutation ohne Wiederholung. Korrekt! :-) |
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Jede einzelne dieser übersichtlich 5 Zeilen (Möglichkeiten) ist kombinatorisch eine Permutation mit Wiederholung? Ich tue mich mit Kombinatorik so schwer, das ist fast schon peinlich. |
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Das ist Übungssache. Dazu sind wir ja da. Worte aus 6 Buchstaben, davon zweimal das Ja, ich hatte dir oben übersichtlich die 5 Zeilen (Möglichkeiten) zur Auswahl der Buchstaben vor Augen geführt. Jede einzelne Zeile (Möglichkeit) ist eine Permutation mit Wiederholung; nämlich eine Permutation aus 6 Buchstaben, davon die Wiederholung zweimal das . |
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Dann müsste es dann Möglichkeiten sein, oder irre mich? |
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Alternativlösung: Die Anzahl der siebenbuchstabigen Wörter ist klar , siehe oben. Die Anzahl der sechsbuchstabigen auch: Jedes solche Wort entsteht aus einem siebenbuchstabigen Wort durch Weglassung des letzten Zeichens - das ist eine bijektive Abbildung, und damit auch 2520 Möglichkeiten! Bei den fünfbuchstabigen Wörtern ist es etwas komplizierter: Hier bewirkt das Weglassen der letzten beiden Zeichen keine Bijektion, so gehören z.B. AUFGABE und AUFGAEB zum selben fünfbuchstabigen Wort AUFGA. Man kann aber leicht analysieren, was da passiert: Den fünfbuchstabigen Wörtern ohne A kann man das entsprechende siebenbuchstabige Wort mit angehängtem AA eindeutig zuordnen - bei den fünfbuchstabigen Wörtern mit A sind es aber genau zwei siebenbuchstabige Wörter (siehe Beispiel AUFGA). Nun gibt es genau fünfbuchstabigen Wörtern ohne A und entsprechend andere. Macht summa summarum 1320 fünfbuchstabige, 2520 sechsbuchstabige sowie 2520 siebenbuchstabige Wörter, zusammen 6360 Wörter. |
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Wer ein paar Worte nutzt, vermeidet Missverständnisse. Worte aus 6 Buchstaben, davon zweimal das sind 5 Möglichkeiten, die restlichen Buchstaben auszuwählen, und jeweils eine Permutation Buchstaben, zweifach-Wiederholung also Möglichkeiten, Worte aus 6 Buchstaben mit zweimal zu bilden. |
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Danke für die Antworten. |
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