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Wie viele verschiedene Wege gibt es?

Universität / Fachhochschule

Tags: Abzählung, Binomialkoeffizient, Diskrete Mathematik

Vhira99 aktiv_icon

01:39 Uhr, 07.08.2020

Hallo,
ich wollte etwas vorlernen bevor das Semester beginnt und bin auf eine Aufgabe gestoßen, die ich nicht selber lösen kann. Kann mir da jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Roman-22

03:44 Uhr, 07.08.2020

Es ist unklar, was hier unter "Weg" verstanden wird.

Man kann zB.

a)

einen Schritt nach rechts gehen, zweimal pausieren und dann wieder einen nach rechts
oder

b)

pausieren, zwei Schritte nach rechts und dann wieder pausieren.

Der Weg im landläufigen Sinn ist in beiden Fällen der gleiche, nur die zeitliche Abfolge, quasi der Geschwindigkeitsverlauf, ist unterschiedlich.
Zählen

a)

und

b)

jetzt als gleicher "Weg" oder ist unter "Weg" einfach nur die Abfolge der drei Möglichkeiten, die bei jedem "Schritt" möglich sind, zu verstehen?
Falls der Aufgabe die letzte Interpretation zugrunde gelegt werden soll, so solltest du bei

a)

an Variation mit Wiederholung denken und dir bei

b)

überlegen, dass die Anzahl

r

der Schritte nach rechts um zwei größer sein muss als jene der Schritte nach links (der Rest der

10

Schritte sind Stillstände). Da gibt es jetzt nur die fünf Fälle

r = 2, . . 6

und die würde ich einzeln behandeln und die Ergebnisse addieren. Ich komme da auf

\sum_{r = 2}^{6} [(\begin{matrix} 10 \\ r \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 - r \\ r - 2 \end{matrix})] = 6765

[

EDIT: Hier stand anfangs eine falsche Zahl]

anonymous

04:43 Uhr, 07.08.2020

Hallo,

durch

k \in N

Schritte entstehen

3^{k}

Wege

mit

2 \cdot k + 1

möglichen Endpunkten

p \in Z : - k \leq p \leq k

.

Für

k = 10

ergeben sich also

3^{10} = 59049

Wege,

mit den

21

Endpunkten

- 10 \leq p \leq 10

.

Die Matrix zeigt die möglichen "Schrittartanzahlen",

um mit

10

Schritten nach

p = 2

zu gelangen.

[\begin{matrix} 0 | & 8 & 6 & 4 & 2 & 0 \\ 1 | & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ - 1 | & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{matrix}]

.

Die Anzahl der Wege ergibt sich nun aus der Summe

der Permutationen dieser Schrittmengen, salopp gesagt...

\frac{10!}{8! \cdot 2! \cdot 0!} + \frac{10!}{6! \cdot 3! \cdot 1!} + \frac{10!}{4! \cdot 4! \cdot 2!} + \frac{10!}{2! \cdot 5! \cdot 3!} + \frac{10!}{0! \cdot 6! \cdot 4!} = 6765

.

Es entsteht übrigens auch so eine Art
Wegeanzahldreieck:

[\begin{matrix} p | & - 4 & - 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ k = 0 | & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ k = 1 | & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ k = 2 | & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ k = 3 | & 0 & 1 & 3 & 6 & 7 & 6 & 3 & 1 & 0 \\ k = 4 | & 1 & 4 & 10 & 16 & 19 & 16 & 10 & 4 & 1 \end{matrix}]

usw...

N8eule

09:02 Uhr, 08.08.2020

Geben wir den zwei Interpretationsarten, die Roman schon angesprochen hat, doch mal einen Namen.
Interpretation Alpha (landläufig):
Wir unterscheiden nur die Wege anhand der Schritte, die auch tatsächlich die Position (den x-Wert) verändern.

Interpretation Beta (10-stellig):
Wir unterscheiden auch die Wege, wenn an unterschiedlichen Stellen pausiert wurde

(x_{n} = x_{n - 1})

.

Auch ich neige dazu, dass die Aufgabe, so wie sie formuliert ist, wohl eher der Interpretation Beta zuzuordnen ist. Auch ich halte aber den Aufgabentext für ausreichend ungenau, dass die Interpretation Alpha durchaus erwägenswert ist.
Soweit ich es sehe, ist Wurzlgnom unausgesprochen von Interpretation Beta ausgegangen.

Ich nehme mal an, dass das einfach Übungsaufgaben für Studenten sind. In dem Fall halte ich es grundsätzlich für empfehlenswert, Vhira, einfach beide Interpretationen zur Übung zu setzen.

Lösungsansätze für Beta hast du ja schon bekommen.
Wie weit bist du? Wo steckst du?

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