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Wie viele vierstellige Zahlen existieren?
Schüler Gymnasium,
Tags: Anzahl der Möglichkeiten, zählprinzip
 
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Hallo zusammen, ich will gerne wissen, ob meine Lösung mathematisch korrekt hergeleitet wurde. Folgende mathematische Aufgabe habe ich zu lösen: "Wie viele vierstellige Zahlen existieren, wenn von diesen vier Stellen, drei mit einer 0 und eine mit einer besetzt werden dürfen?" Ich berechne die Menge, bestehend aus vierstelligen Zahlen, wie folgt: Zunächst habe ich 4 Möglichkeiten, einer der vier Stellen mit der Ziffer 1 zu belegen. Danach habe ich 3 Möglichkeiten, um eine der restlichen Stellen mit der Ziffer 0 zu besetzen. Dann habe ich 2 Möglichkeiten, um die Ziffer 0 auf eine der beiden restlichen Stellen zu setzen und so weiter. Also, P(n)=n(n-1)(n-2)…1=4(4-1)(4-2)(4-3)=24. Ich muss allerdings noch die Vertauschungen zwischen identischen Objekten/Elementen berücksichtigen, siehe die Ziffer 0. Also: P(n)=n(n-1)(n-2)…1=3(3-1)(3-2)=6 Vertauschungen zwischen denselben Elementen/Objekten gilt es zu berücksichtigen. Daraus folgt: . Ergebnis: Die Frage die ich mich allerdings hier stelle ist: Ist es in dieser Situation legitim, dass ich als Ausgang eine Multimenge annehme, also ? Vielen Dank schon mal für die Beantwortung meiner Frage. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Üblicher Sprachgebrauch ist, dass man nur dann von -stelligen Zahlen spricht, wenn die vorderste Ziffer (also die -te Ziffer von rechts beginnend gezählt) keine Null ist. Andernfalls spricht man von "höchstens -stelligen Zahlen" oder erwähnt extra, dass führende Nullen zugelassen werden. Beides kann ich in der Aufgabenformulierung nicht erkennen. Im strengen Sinne erfüllt daher nur die Zahl 1000 die Bedingungen deiner Aufgabe, d.h. die gesuchte Anzahl ist 1. |
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Hallo HAL9000, vielen Dank schon mal für Deine Rückmeldung. Ja, da hast Du vollkommen recht. In der Fragestellung wird explizit von vierstelligen Zahlen gesprochen. Also bestehet die Lösungsmenge aus genau einem Element, nämlich . Habe ich überlesen... Wenn allerdings führende Nullen zulässig wären, kann ich dann die von mir aufgeschriebene Lösung als mathematisch korrekt ansehen? Vielen Dank und Grüße. |
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Hallo Der Begriff "vierstellig" ist tatsächlich missverständlich. Ein vierstelliges Geräte-Display wird ja tatsächlich einstellige zweistellige dreistellige oder vierstellige Zahlen darstellen können. Denk . mal an moderne Digital-Tachoanzeigen im Auto. Die sind typischerweise dreistellig und stellt dreistellige Werte dar, ersatzweise vielleicht Leerzeichen, auch wenn wir auf dem Parkplatz in 'Schrittgeschwindigkeit' rangieren. Die Aufgabenstellung hier würde ich aber eindeutig so lesen, dass eben vier Ziffern "1", "0", "0" und "0" an die Stellen einer vierstelligen Anzeige zu platzieren sind. Zur Lösung der Aufgabe gibt es ja wiederum viele Möglichkeiten. erste Lösungmöglichkeit: Aufzählung. Ich glaube, da braucht's nicht viele Worte der Erklärung. Es sind anschaulich VIER Möglichkeiten. zweite Lösungsmöglichkeit "Zunächst habe ich 4 Möglichkeiten, einer der vier Stellen mit der Ziffer 1 zu belegen." Ja. Jetzt kannst du dir klar machen, dass der Rest, die restlichen Stellen ja nur noch mit Nullen belegt werden können. Da hast du eigentlich keine Wahlmöglichkeit mehr. Also: 4 Möglichkeiten Schluss, Ende, Basta, finito, warum noch mehr Hirn zermatern und sich selbst verwirren? Möglichkeiten dritte Lösungsmöglichkeit "Zunächst habe ich 4 Möglichkeiten, einer der vier Stellen mit der Ziffer 1 zu belegen." Ja. "Danach habe ich 3 Möglichkeiten, um eine der restlichen Stellen mit der Ziffer 0 zu besetzen." Ja, wenn man so will, kann man die restlichen Nullen in eine ERSTE Null eine ZWEITE Null und eine DRITTE Null unterscheiden. Dann ist dein Gedankengang absolut korrekt und nachvollziehbar, Du hast drei Möglichkeiten, die ERSTE Null zu platzieren, verbleibende zwei Möglichkeiten, die ZWEITE Null zu platzieren, für die DRITTE Null verbleibt nur noch der letzt-offene Platz (eine Möglichkeit). "Ich muss allerdings noch die Vertauschungen zwischen identischen Objekten/Elementen berücksichtigen" Ja, absolut richtig. In meinen Worten: Du musst wieder raus rechnen, dass ja in diesem Gedankengang mehrere Zwischenlösungen eigentlich das selbe Ergebnis darstellen, weil ja . beim Ergebnis für die Null an der zweiten Stelle unerheblich ist, ob sie nun als "ERSTE Null", als "ZWEITE Null" oder als "DRITTE Null" gezogen wurde. Du sprichst von 6 Vertauschungen. Ja, nachvollziehbar richtig! zusammenfassend: Möglichkeiten Du siehst: Es gibt viele (mehrere) Lösungsmöglichkeiten. Aber sie führen, übersichtlich vor Augen geführt, alle natürlich zum gleichen Ergebnis. |
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Hallo calc007, vielen Dank für Deine ausführliche Darstellung der Lösungsmöglichkeiten. Grüße. |
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