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Wie vorgehen bei komplizierteren Potenzreihen?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

t51200 aktiv_icon

18:34 Uhr, 16.06.2010

Hallo. Ich habe eine Frage zu Potenzreihen. Alle Beispiele die ich gefunden habe beschäftigen sich mit der normalen Form Summe(aj*x^n). Wie bestimme ich aber Entwicklungspunkt und Konvergenzradius wenn die Potenzreihe so aussieht?

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{5^{n}} {(x - 3)}^{2 n}

hagman aktiv_icon

23:30 Uhr, 16.06.2010

Das ist nun ein besoinders einfacher Fall, da es sich um eine geometrische Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} q^{n}

mit

q = \frac{{(x - 3)}^{2}}{5}

handelt. Die konvergiert genau dann, wenn

| q | < 1

ist, also ist der Konvergenzradius

\sqrt{5}

(und den Entwicklungspunkt 3 kann man ja gar nicht überdehen)

t51200 aktiv_icon

11:25 Uhr, 17.06.2010

Und wenn ich etwas habe wie

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} {(x - 3)}^{2 n + 1}

Hier liegt ja keine geometrische Reihe vor. Ist der Entwicklungspunkt dann wieder 3 (einfach immer in der Klammer ablesen?) ? Wie bestimme ich den Konvergenzradius in diesem Beispiel?

hagman aktiv_icon

17:27 Uhr, 17.06.2010

Ganz allgemein mit der Formel von Cauchy-Hadamard!
Gegeben ist

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} (x - 3)^{k}

.
Hier ist

a_{k} = \frac{1}{n!}

, wenn

k = 2 n + 1

und

a_{k} = 0

sonst.
Laut Cauchy-Hadamard ist im allgemeinen

R = \frac{1}{limsup \sqrt[^]{∣ a_{n} ∣}}

bzw. im Fall von

limsup \sqrt[^]{∣ a_{n} ∣} = 0

konvergiert die Reihe für alle

x \in ℝ

.

Hier allerdingsgreift das Quotientenkriterium - geschickt angewendet - viel schneller.
Der Quotient zweier aufeinander folgender (von 0 verschiedener) Summanden der Reihe ist nämlich einfach

\frac{\frac{(x - 3)^{2 n + 3}}{(n + 1)!}}{\frac{(x - 3)^{2 n + 1}}{n!}} = \frac{(x - 3)^{2}}{n + 1}

und das ist für jedes

x

eine Nullfolge.

t51200 aktiv_icon

18:41 Uhr, 17.06.2010

Ok, das heißt, ich untersuche

\frac{1}{n!}

mit den Kriterien auf Konvergenz egal welche Potenz die klammer hat?
Wo ist der Entwicklungspunkt nun? Ich glaube dass man da was substituieren muss um ihn zu bekommen...

hagman aktiv_icon

22:22 Uhr, 17.06.2010

Das mit dem Entwicklungspunkt ist doch nun das einfachste überhaupt:
Wenn die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \cdot {(x - c)}^{n}

lautet, dann handelt es sich um eine Entwicklung um

c

t51200 aktiv_icon

23:45 Uhr, 17.06.2010

Wenn das in der Form so da steht ist mir das klar, aber hätte ja sein können, dass man bei

{(x - c)}^{2 n}

anders drauf kommen muss.
Hätte man im ersten Beispiel auch anders auf den Konvergenzradius kommen können? Normalerweise hätte ich

\frac{1}{\sqrt[n]{5^{n}}} = \frac{1}{5}

gerechnet und somit 5 als Radius erhalten.
Und immer wird man wahrscheinlich auch nicht die geometrische Reihe vorliegen haben.

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